5.1 Localisation g´ eom´ etrique des valeurs propres
165
Donc λ ∈ Rk, d’o` u (5.4).
3
Les estimations (5.4) assurent que toute valeur propre de A se trouve dans la
r´ eunion des disques R i . De plus, les matrices A et A
T ayant le mˆ eme spectre,
le Th´ eor` eme 5.2 s’´ ecrit aussi sous la forme
σ(A) ⊆ S C =
n
j=1
C j ,
C j = {z ∈ C : |z − a jj | ≤
n
i=1
i =j
|a ij |}.
(5.6)
Les disques R i du plan complexe sont appel´ es “disques lignes”, et les C j
“disques colonnes”. Le r´ esultat suivant est une cons´ equence imm´ ediate de (5.4)
et (5.6).
Propri´ et´ e 5.1 (premier th´ eor` eme de Gershgorin) Pour une matrice donn´ ee A ∈ C
n×n ,
∀λ ∈ σ(A),
λ∈ S R
S C .
(5.7)
On peut ´ egalement prouver les deux th´ eor` emes de localisation suivants (voir
[Atk89], p. 588-590 et [Hou75], p. 66-67) :
Propri´ et´ e 5.2 (second th´ eor` eme de Gershgorin) Soient 1 ≤ m ≤ n et
S 1 =
m
i=1
R i , S 2 =
n
i=m+1
R i .
Si S 1 ∩ S 2 = ∅, alors S 1 contient exactement m valeurs propres de A, chacune
´ etant compt´ ee avec sa multiplicit´ e alg´ ebrique, les autres valeurs propres sont
dans S 2 .
Remarque 5.1 Les Propri´ et´ es 5.1 et 5.2 n’excluent pas la possibilit´ e qu’il
existe des disques ne contenant aucune valeur propre. C’est par exemple le
cas pour la matrice de l’Exercice 1.
D´ efinition 5.1 Une matrice A ∈ C
n×n est dite r´ eductible s’il existe une
matrice de permutation P telle que
PAP
T =
B 11 B 12
0
B 22
,
o` u B 11 et B 22 sont des matrices carr´ ees ; la matrice A est dite irr´ eductible
dans le cas contraire.
Propri´ et´ e 5.3 (troisi` eme th´ eor` eme de Gershgorin) Soit A ∈ C
n×n une
matrice irr´ eductible. Une valeur propre λ ∈ σ(A) ne peut pas appartenir au
bord de S R ` a moins qu’elle n’appartienne au bord de chaque disque R i , pour
i = 1, . . ., n.
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Donc λ ∈ Rk, d’o` u (5.4).
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Les estimations (5.4) assurent que toute valeur propre de A se trouve dans la
r´ eunion des disques R i . De plus, les matrices A et A
T ayant le mˆ eme spectre,
le Th´ eor` eme 5.2 s’´ ecrit aussi sous la forme
σ(A) ⊆ S C =
n
j=1
C j ,
C j = {z ∈ C : |z − a jj | ≤
n
i=1
i =j
|a ij |}.
(5.6)
Les disques R i du plan complexe sont appel´ es “disques lignes”, et les C j
“disques colonnes”. Le r´ esultat suivant est une cons´ equence imm´ ediate de (5.4)
et (5.6).
Propri´ et´ e 5.1 (premier th´ eor` eme de Gershgorin) Pour une matrice donn´ ee A ∈ C
n×n ,
∀λ ∈ σ(A),
λ∈ S R
S C .
(5.7)
On peut ´ egalement prouver les deux th´ eor` emes de localisation suivants (voir
[Atk89], p. 588-590 et [Hou75], p. 66-67) :
Propri´ et´ e 5.2 (second th´ eor` eme de Gershgorin) Soient 1 ≤ m ≤ n et
S 1 =
m
i=1
R i , S 2 =
n
i=m+1
R i .
Si S 1 ∩ S 2 = ∅, alors S 1 contient exactement m valeurs propres de A, chacune
´ etant compt´ ee avec sa multiplicit´ e alg´ ebrique, les autres valeurs propres sont
dans S 2 .
Remarque 5.1 Les Propri´ et´ es 5.1 et 5.2 n’excluent pas la possibilit´ e qu’il
existe des disques ne contenant aucune valeur propre. C’est par exemple le
cas pour la matrice de l’Exercice 1.
D´ efinition 5.1 Une matrice A ∈ C
n×n est dite r´ eductible s’il existe une
matrice de permutation P telle que
PAP
T =
B 11 B 12
0
B 22
,
o` u B 11 et B 22 sont des matrices carr´ ees ; la matrice A est dite irr´ eductible
dans le cas contraire.
Propri´ et´ e 5.3 (troisi` eme th´ eor` eme de Gershgorin) Soit A ∈ C
n×n une
matrice irr´ eductible. Une valeur propre λ ∈ σ(A) ne peut pas appartenir au
bord de S R ` a moins qu’elle n’appartienne au bord de chaque disque R i , pour
i = 1, . . ., n.