164
5 Approximation des valeurs propres et des vecteurs propres
pour toute norme matricielle consistante ··. L’in´ egalit´ e (5.1), qui est souvent
assez grossi` ere, montre que toutes les valeurs propres de A sont contenues dans
un disque de rayon R A = A centr´ e ` a l’origine du plan complexe.
On peut obtenir un autre r´ esultat en ´ etendant aux matrices complexes la
d´ ecomposition de la D´ efinition 1.24.
Th´ eor` eme 5.1 Si A ∈ C
n×n , soient
H = (A + A
∗ ) /2
et
iS = (A − A
∗ ) /2
les parties hermitienne et antihermitienne de A (o` u i
2 = −1). Pour tout
λ ∈ σ(A)
λ min (H) ≤ Re(λ) ≤ λ max (H), λ min (S) ≤ Im(λ) ≤ λ max (S).
(5.2)
D´ emonstration. D’apr` es la d´ efinition de H et S, on a A = H + iS. Soit u ∈ C
n ,
= 1, un vecteur propre associ´ e ` a la valeur propre λ ; le quotient de Rayleigh
(introduit `
a la Section 1.7) s’´ ecrit
λ = u
∗ Au = u
∗ Hu + iu
∗ Su.
(5.3)
Remarquer que H et S sont toutes les deux des matrices hermitiennes, tandis que iS
est antihermitienne. Ainsi, les matrices H et S sont unitairement semblables `
a une
matrice r´ eelle diagonale (voir Section 1.7). Leur valeurs propres sont donc r´ eelles et
on d´ eduit de (5.3) que
Re(λ) = u
∗ Hu,
Im(λ) = u
∗ Su,
d’o` u d´ ecoule (5.2).
3
Le r´ esultat suivant donne une estimation a priori des valeurs propres de A.
Th´ eor` eme 5.2 (des disques de Gershgorin) Si A ∈ C
n×n , alors
σ(A) ⊆ S R =
n
i=1
R i ,
R i = {z ∈ C : |z − a ii | ≤
n
j=1
j =i
|a ij |}.
(5.4)
Les ensembles R i sont appel´ es disques de Gershgorin.
D´ emonstration. D´ ecomposons A en A = D + E, o` u D est la partie diagonale de
A, et eii = 0 pour i = 1, . . . , n. Pour λ ∈ σ(A) (avec λ = akk, ≤ k ≤ n), on introduit
la matrice Bλ = A− λI = (D− λI) + E. Comme Bλ est singuli` ere, il existe un vecteur
non nul x ∈ C
n tel que Bλx = 0, i.e. ((D − λI) + E) x = 0. En passant ` a la norme
· ·∞, on a ainsi
x = −(D − λI)
−1 Ex,
x∞ ≤ ≤(D − λI)
−1 E∞x∞,
et donc pour un certain k, 1 ≤ k ≤ n,
1 ≤ ≤(D − λI)
−1 E∞ =
n
j=1
|ekj|
|akk − λ|
=
n
j=1
j =k
|akj|
|akk − λ|
.
(5.5)
5 Approximation des valeurs propres et des vecteurs propres
pour toute norme matricielle consistante ··. L’in´ egalit´ e (5.1), qui est souvent
assez grossi` ere, montre que toutes les valeurs propres de A sont contenues dans
un disque de rayon R A = A centr´ e ` a l’origine du plan complexe.
On peut obtenir un autre r´ esultat en ´ etendant aux matrices complexes la
d´ ecomposition de la D´ efinition 1.24.
Th´ eor` eme 5.1 Si A ∈ C
n×n , soient
H = (A + A
∗ ) /2
et
iS = (A − A
∗ ) /2
les parties hermitienne et antihermitienne de A (o` u i
2 = −1). Pour tout
λ ∈ σ(A)
λ min (H) ≤ Re(λ) ≤ λ max (H), λ min (S) ≤ Im(λ) ≤ λ max (S).
(5.2)
D´ emonstration. D’apr` es la d´ efinition de H et S, on a A = H + iS. Soit u ∈ C
n ,
= 1, un vecteur propre associ´ e ` a la valeur propre λ ; le quotient de Rayleigh
(introduit `
a la Section 1.7) s’´ ecrit
λ = u
∗ Au = u
∗ Hu + iu
∗ Su.
(5.3)
Remarquer que H et S sont toutes les deux des matrices hermitiennes, tandis que iS
est antihermitienne. Ainsi, les matrices H et S sont unitairement semblables `
a une
matrice r´ eelle diagonale (voir Section 1.7). Leur valeurs propres sont donc r´ eelles et
on d´ eduit de (5.3) que
Re(λ) = u
∗ Hu,
Im(λ) = u
∗ Su,
d’o` u d´ ecoule (5.2).
3
Le r´ esultat suivant donne une estimation a priori des valeurs propres de A.
Th´ eor` eme 5.2 (des disques de Gershgorin) Si A ∈ C
n×n , alors
σ(A) ⊆ S R =
n
i=1
R i ,
R i = {z ∈ C : |z − a ii | ≤
n
j=1
j =i
|a ij |}.
(5.4)
Les ensembles R i sont appel´ es disques de Gershgorin.
D´ emonstration. D´ ecomposons A en A = D + E, o` u D est la partie diagonale de
A, et eii = 0 pour i = 1, . . . , n. Pour λ ∈ σ(A) (avec λ = akk, ≤ k ≤ n), on introduit
la matrice Bλ = A− λI = (D− λI) + E. Comme Bλ est singuli` ere, il existe un vecteur
non nul x ∈ C
n tel que Bλx = 0, i.e. ((D − λI) + E) x = 0. En passant ` a la norme
· ·∞, on a ainsi
x = −(D − λI)
−1 Ex,
x∞ ≤ ≤(D − λI)
−1 E∞x∞,
et donc pour un certain k, 1 ≤ k ≤ n,
1 ≤ ≤(D − λI)
−1 E∞ =
n
j=1
|ekj|
|akk − λ|
=
n
j=1
j =k
|akj|
|akk − λ|
.
(5.5)