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Approximation des valeurs propres et
des vecteurs propres
Nous abordons dans ce chapitre l’approximation des valeurs propres et des
vecteurs propres d’une matrice A ∈ C
n×n . Il existe deux classes de m´ ethodes
num´ eriques pour traiter ce probl` eme : les m´ ethodes partielles, qui permettent
le calcul approch´ e des valeurs propres extrˆ emes de A (c’est-` a-dire celles de
plus grand et de plus petit module), et les m´ ethodes globales, qui fournissent
des approximations de tout le spectre de A.
Certaines m´ ethodes de calcul des valeurs propres permettent ´ egalement le
calcul des vecteurs propres. Ainsi, la m´ ethode de la puissance (qui est une
m´ ethode partielle, voir Section 5.3) fournit l’approximation d’une paire particuli` ere de valeur propre/vecteur propre. Mais toutes les m´ ethodes utilis´ ees
pour calculer les valeurs propres ne donnent pas syst´ ematiquement les vecteurs
propres associ´ es. Par exemple, la m´ ethode QR (qui est une m´ ethode globale,
voir Section 5.5) permet le calcul de la forme de Schur r´ eelle de A, c’est-` a-dire
une forme canonique qui contient toutes les valeurs propres de A, mais elle ne
fournit aucun des vecteurs propres. Ces vecteurs propres peuvent ˆ etre obtenus
` a partir de la forme de Schur r´ eelle de A par un calcul suppl´ ementaire (voir
[GL89], Section 7.6.1).
Enfin, nous consid´ erons ` a la Section 5.8 des m´ ethodes ad hoc pour traiter
efficacement le cas particulier o` u A est une matrice sym´ etrique.
5.1 Localisation g´ eom´ etrique des valeurs propres
Les valeurs propres de A ´ etant les racines du polynˆ ome caract´ eristique p A (λ)
(voir Section 1.7), on ne peut les calculer qu’avec des m´ ethodes it´ eratives
quand n ≥ 5. Il est donc utile de connaˆ ıtre leur localisation dans le plan
complexe pour acc´ el´ erer la convergence.
Une premi` ere estimation est donn´ ee par le Th´ eor` eme 1.4,
|λ| ≤ ≤A,
∀λ ∈ σ(A),
(5.1)
Approximation des valeurs propres et
des vecteurs propres
Nous abordons dans ce chapitre l’approximation des valeurs propres et des
vecteurs propres d’une matrice A ∈ C
n×n . Il existe deux classes de m´ ethodes
num´ eriques pour traiter ce probl` eme : les m´ ethodes partielles, qui permettent
le calcul approch´ e des valeurs propres extrˆ emes de A (c’est-` a-dire celles de
plus grand et de plus petit module), et les m´ ethodes globales, qui fournissent
des approximations de tout le spectre de A.
Certaines m´ ethodes de calcul des valeurs propres permettent ´ egalement le
calcul des vecteurs propres. Ainsi, la m´ ethode de la puissance (qui est une
m´ ethode partielle, voir Section 5.3) fournit l’approximation d’une paire particuli` ere de valeur propre/vecteur propre. Mais toutes les m´ ethodes utilis´ ees
pour calculer les valeurs propres ne donnent pas syst´ ematiquement les vecteurs
propres associ´ es. Par exemple, la m´ ethode QR (qui est une m´ ethode globale,
voir Section 5.5) permet le calcul de la forme de Schur r´ eelle de A, c’est-` a-dire
une forme canonique qui contient toutes les valeurs propres de A, mais elle ne
fournit aucun des vecteurs propres. Ces vecteurs propres peuvent ˆ etre obtenus
` a partir de la forme de Schur r´ eelle de A par un calcul suppl´ ementaire (voir
[GL89], Section 7.6.1).
Enfin, nous consid´ erons ` a la Section 5.8 des m´ ethodes ad hoc pour traiter
efficacement le cas particulier o` u A est une matrice sym´ etrique.
5.1 Localisation g´ eom´ etrique des valeurs propres
Les valeurs propres de A ´ etant les racines du polynˆ ome caract´ eristique p A (λ)
(voir Section 1.7), on ne peut les calculer qu’avec des m´ ethodes it´ eratives
quand n ≥ 5. Il est donc utile de connaˆ ıtre leur localisation dans le plan
complexe pour acc´ el´ erer la convergence.
Une premi` ere estimation est donn´ ee par le Th´ eor` eme 1.4,
|λ| ≤ ≤A,
∀λ ∈ σ(A),
(5.1)