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4 M´ ethodes it´ eratives pour la r´ esolution des syst` emes lin´ eaires
que la m´ ethode n’est consistante que si β = 1 − ω. Dans ce cas, exprimer les
valeurs propres de la matrice d’it´ eration en fonction de ω et d´ eterminer pour
quelles valeurs de ω la m´ ethode est convergente ainsi que ωopt, en supposant
A = tridiag 10 (−1, 2, −1).
[Indication : Utiliser le r´ esultat de l’Exercice 3.]
9. Soit A ∈ R
n×n tel que A = (1 + ω)P − (N + ωP), avec P
−1 N inversible et de
valeurs propres r´ eelles λ1 ≤ λ2 ≤ . . . ≤ λn < 1. Trouver les valeurs de ω ∈ R
pour lesquelles la m´ ethode it´ erative
(1 + ω)Px
(k+1) = (N + ωP)x
(k) + b,
k≥ 0,
converge pour tout x
(0) vers la solution du syst` eme lin´ eaire (3.2). D´ eterminer
aussi la valeur de ω pour laquelle le taux de convergence est maximal.
[Solution : ω > −(1 + λ1)/2 ; ωopt = −(λ1 + λn)/2.]
10. Montrer que les coefficients αk et βk de la m´ ethode du gradient conjugu´ e
peuvent s’´ ecrire sous la forme (4.46).
[Solution : remarquer que Ap
(k) = (r
(k) − r
(k+1) )/αk et donc (Ap
(k) )
T r
(k+1) =
−−r
(k+1)
2
2 /αk. De plus, αk(Ap
(k) )
T p
(k) = −−r
(k)
2
2 .]
11. Montrer la formule de r´ ecurrence ` a trois termes (4.47) v´ erifi´ ee par le r´ esidu de
la m´ ethode du gradient conjugu´ e.
[Solution : soustraire des deux membres de Ap
(k) = (r
(k) − r
(k+1) )/αk la quantit´ e βk−1/αkr
(k) et utiliser Ap
(k) = Ar
(k) − βk−1Ap
(k−1) . En exprimant le
r´ esidu r
(k) en fonction de r
(k−1) , on obtient alors imm´ ediatement la relation
voulue.]