4.6 Exercices
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V´ erifier que la m´ ethode est consistante pour tout θ ∈ R. Puis d´ eterminer les
valeurs de θ pour lesquelles la m´ ethode est convergente et calculer la valeur
optimale de θ (i.e. la valeur du param` etre pour laquelle le taux de convergence
est maximal).
[Solution : la m´ ethode est convergente si et seulement si −1 < θ < 1/2 et le
taux de convergence est maximum si θ = (1 −
√
3)/2.]
6. Pour r´ esoudre le syst` eme lin´ eaire par blocs
A1 B
B
A2
x
y
=
b1
b2
,
on consid` ere les deux m´ ethodes :
(1) A1x
(k+1) + By
(k) = b1, Bx
(k) + A2y
(k+1) = b2;
(2) A1x
(k+1) + By
(k) = b1, Bx
(k+1) + A2y
(k+1) = b2.
Trouver des conditions suffisantes pour que ces sch´ emas soient convergents pour
toute donn´ ee initiale x
(0) , y
(0) .
[Solution : la m´ ethode (1) se traduit par un syst` eme d´ ecoupl´ e d’inconnues
x
(k+1) et y
(k+1) . Supposons A1 et A2 inversibles, la m´ ethode (1) converge si
ρ(A
−1
1 B) < 1 et ρ(A
−1
2 B) < 1. Pour la m´ ethode (2), on a un syst` eme coupl´ e
d’inconnues x
(k+1) et y
(k+1) ` a r´ esoudre ` a chaque it´ eration. En r´ esolvant la
premi` ere ´ equation par rapport `
a x
(k+1) (ce qui n´ ecessite d’avoir A1 inversible)
et en substituant la solution dans la seconde, on voit que la m´ ethode (2) est
convergente si ρ(A
−1
2 BA
−1
1 B) < 1 (l` a encore, A2 doit ˆ etre inversible).]
7. Consid´ erons le syst` eme lin´ eaire Ax = b avec
A =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
62 24 1
8 15
23 50 7 14 16
4
6 58 20 22
10 12 19 66 3
11 18 25 2 54
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
, b =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
110
110
110
110
110
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
.
(1) V´ erifier si on peut utiliser les m´ ethodes de Jacobi et Gauss-Seidel pour
r´ esoudre ce syst` eme. (2) V´ erifier si la m´ ethode de Richardson stationnaire avec
param` etre optimal peut ˆ etre utilis´ ee avec P = I et P = D, o` u D est la diagonale
de A. Calculer les valeurs correspondantes de αopt et ρopt.
[Solution : (1) : la matrice A n’est ni `
a diagonale dominante ni sym´ etrique
d´ efinie positive, on doit donc calculer le rayon spectral des matrices d’it´ eration
de Jacobi et Gauss-Seidel pour v´ erifier si ces m´ ethodes sont convergentes. On
trouve ρJ = 0.9280 et ρGS = 0.3066 ce qui implique la convergence des deux
m´ ethodes. (2) : dans le cas o` u P = I, toutes les valeurs propres de A sont
strictement positives, la m´ ethode de Richardson peut donc ˆ etre appliqu´ ee et
αopt = 0.015, ρopt = 0.6452. Si P = D la m´ ethode est encore applicable et
αopt = 0.8510, ρopt = 0.6407.]
8. On consid` ere la m´ ethode it´ erative (4.6), avec P = D + ωF et N = −βF − E, ω
et β ´ etant des nombres r´ eels pour r´ esoudre le syst` eme lin´ eaire Ax = b. V´ erifier
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V´ erifier que la m´ ethode est consistante pour tout θ ∈ R. Puis d´ eterminer les
valeurs de θ pour lesquelles la m´ ethode est convergente et calculer la valeur
optimale de θ (i.e. la valeur du param` etre pour laquelle le taux de convergence
est maximal).
[Solution : la m´ ethode est convergente si et seulement si −1 < θ < 1/2 et le
taux de convergence est maximum si θ = (1 −
√
3)/2.]
6. Pour r´ esoudre le syst` eme lin´ eaire par blocs
A1 B
B
A2
x
y
=
b1
b2
,
on consid` ere les deux m´ ethodes :
(1) A1x
(k+1) + By
(k) = b1, Bx
(k) + A2y
(k+1) = b2;
(2) A1x
(k+1) + By
(k) = b1, Bx
(k+1) + A2y
(k+1) = b2.
Trouver des conditions suffisantes pour que ces sch´ emas soient convergents pour
toute donn´ ee initiale x
(0) , y
(0) .
[Solution : la m´ ethode (1) se traduit par un syst` eme d´ ecoupl´ e d’inconnues
x
(k+1) et y
(k+1) . Supposons A1 et A2 inversibles, la m´ ethode (1) converge si
ρ(A
−1
1 B) < 1 et ρ(A
−1
2 B) < 1. Pour la m´ ethode (2), on a un syst` eme coupl´ e
d’inconnues x
(k+1) et y
(k+1) ` a r´ esoudre ` a chaque it´ eration. En r´ esolvant la
premi` ere ´ equation par rapport `
a x
(k+1) (ce qui n´ ecessite d’avoir A1 inversible)
et en substituant la solution dans la seconde, on voit que la m´ ethode (2) est
convergente si ρ(A
−1
2 BA
−1
1 B) < 1 (l` a encore, A2 doit ˆ etre inversible).]
7. Consid´ erons le syst` eme lin´ eaire Ax = b avec
A =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
62 24 1
8 15
23 50 7 14 16
4
6 58 20 22
10 12 19 66 3
11 18 25 2 54
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
, b =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
110
110
110
110
110
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
.
(1) V´ erifier si on peut utiliser les m´ ethodes de Jacobi et Gauss-Seidel pour
r´ esoudre ce syst` eme. (2) V´ erifier si la m´ ethode de Richardson stationnaire avec
param` etre optimal peut ˆ etre utilis´ ee avec P = I et P = D, o` u D est la diagonale
de A. Calculer les valeurs correspondantes de αopt et ρopt.
[Solution : (1) : la matrice A n’est ni `
a diagonale dominante ni sym´ etrique
d´ efinie positive, on doit donc calculer le rayon spectral des matrices d’it´ eration
de Jacobi et Gauss-Seidel pour v´ erifier si ces m´ ethodes sont convergentes. On
trouve ρJ = 0.9280 et ρGS = 0.3066 ce qui implique la convergence des deux
m´ ethodes. (2) : dans le cas o` u P = I, toutes les valeurs propres de A sont
strictement positives, la m´ ethode de Richardson peut donc ˆ etre appliqu´ ee et
αopt = 0.015, ρopt = 0.6452. Si P = D la m´ ethode est encore applicable et
αopt = 0.8510, ρopt = 0.6407.]
8. On consid` ere la m´ ethode it´ erative (4.6), avec P = D + ωF et N = −βF − E, ω
et β ´ etant des nombres r´ eels pour r´ esoudre le syst` eme lin´ eaire Ax = b. V´ erifier