160
4 M´ ethodes it´ eratives pour la r´ esolution des syst` emes lin´ eaires
4.6 Exercices
1. Le rayon spectral de la matrice
B =
a 4
0 a
est ρ(B) = |a|. V´ erifier que si 0 < a < 1, alors ρ(B) < 1, tandis que B
m
1/m
2
peut ˆ etre plus grand que 1.
2. Soit A ∈ R
n×n . Montrer que si A est ` a diagonale dominante stricte, alors l’algorithme de Gauss-Seidel pour la r´ esolution du syst` eme lin´ eaire (3.2) converge.
3. V´ erifier que les valeurs propres de la matrice A = tridiag n (−1, α, −1), avec
α ∈ R, sont
λj = α − 2 cos(jθ), j = 1, . . . , n ,
o` u θ = π/(n + 1), et que les vecteurs propres associ´ es sont
qj = [sin(jθ), sin(2jθ), . . . , sin(njθ)]
T .
Sous quelles conditions sur α la matrice est-elle d´ efinie positive ?
[Solution : A est d´ efinie positive si α ≥ 2.]
4. On consid` ere la matrice pentadiagonale A = pentadiag n (−1, −1, 10, −1, −1).
On suppose n = 10 et A = M + N + D, avec D = diag(8, . . . , 8) ∈ R
10×10 , M =
pentadiag 10 (−1, −1, 1, 0, 0) et N = M
T . Analyser la convergence des m´ ethodes
it´ eratives suivantes pour la r´ esolution de Ax = b :
(a) (M + D)x
(k+1) = −Nx
(k) + b,
(b) Dx
(k+1) = −(M + N)x
(k) + b,
(c) (M + N)x
(k+1) = −Dx
(k) + b.
[Solution : en notant respectivement par ρa, ρb et ρc les rayons spectraux
des matrices d’it´ eration des trois m´ ethodes, on a ρa = 0.1450, ρb = 0.5 et
ρc = 12.2870 ce qui implique la convergence des m´ ethodes (a) et (b) et la
divergence de (c).]
5. On veut r´ esoudre le syst` eme lin´ eaire Ax = b d´ efini par
A =
1 2
2 3
, b =
3
5
,
avec la m´ ethode it´ erative suivante
x
(0) donn´ e,
x
(k+1) = B(θ)x
(k) + g(θ),
k≥ 0,
o` u θ est un param` etre r´ eel et
B(θ) =
1
4
2θ
2 + 2θ + 1 −2θ
2 + 2θ + 1
−2θ
2 + 2θ + 1 2θ
2 + 2θ + 1
, g(θ) =
1
2
− θ
1
2
− θ
.