XIV
Table des mati` eres
8.7.2 Int´ egrales de fonctions tendant vers l’infini . . . . . . . . . . 318
8.7.3 Int´ egrales sur des intervalles non born´ es . . . . . . . . . . . . 320
8.8
Int´ egration num´ erique multidimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . 322
8.8.1 La m´ ethode de r´ eduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
8.8.2 Quadratures composites bidimensionnelles . . . . . . . . . . 324
8.9
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
IV Transformations, d´ erivations et discr´ etisations
9 Polynˆ omes orthogonaux en th´ eorie de l’approximation . . . . . 333
9.1
Approximation de fonctions par des s´ eries de Fourier
g´ en´ eralis´ ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
9.1.1 Les polynˆ omes de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
9.1.2 Les polynˆ omes de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
9.2
Interpolation et int´ egration de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
9.3
Interpolation et int´ egration de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
9.4
Interpolation et int´ egration de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
9.5
Int´ egration de Gauss sur des intervalles non born´ es . . . . . . . . . 346
9.6
Impl´ ementations des quadratures de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . 347
9.7
Approximation d’une fonction au sens des moindres carr´ es . . . 349
9.7.1 Approximation au sens des moindres carr´ es discrets . . 349
9.8
Le polynˆ ome de meilleure approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
9.9
Polynˆ ome trigonom´ etrique de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
9.9.1 La transformation de Fourier rapide . . . . . . . . . . . . . . . . 358
9.10 Approximation des d´ eriv´ ees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
9.10.1 M´ ethodes des diff´ erences finies classiques . . . . . . . . . . . 359
9.10.2 Diff´ erences finies compactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
9.10.3 D´ eriv´ ee pseudo-spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
9.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
10 R´ esolution num´ erique des ´ equations diff´ erentielles
ordinaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
10.1 Le probl` eme de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
10.2 M´ ethodes num´ eriques ` a un pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
10.3 Analyse des m´ ethodes ` a un pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
10.3.1 La z´ ero-stabilit´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
10.3.2 Analyse de la convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
10.3.3 Stabilit´ e absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
10.4 Equations aux diff´ erences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
10.5 M´ ethodes multi-pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
10.5.1 M´ ethodes d’Adams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
10.5.2 M´ ethodes BDF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
10.6 Analyse des m´ ethodes multi-pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
Table des mati` eres
8.7.2 Int´ egrales de fonctions tendant vers l’infini . . . . . . . . . . 318
8.7.3 Int´ egrales sur des intervalles non born´ es . . . . . . . . . . . . 320
8.8
Int´ egration num´ erique multidimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . 322
8.8.1 La m´ ethode de r´ eduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
8.8.2 Quadratures composites bidimensionnelles . . . . . . . . . . 324
8.9
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
IV Transformations, d´ erivations et discr´ etisations
9 Polynˆ omes orthogonaux en th´ eorie de l’approximation . . . . . 333
9.1
Approximation de fonctions par des s´ eries de Fourier
g´ en´ eralis´ ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
9.1.1 Les polynˆ omes de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
9.1.2 Les polynˆ omes de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
9.2
Interpolation et int´ egration de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
9.3
Interpolation et int´ egration de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
9.4
Interpolation et int´ egration de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
9.5
Int´ egration de Gauss sur des intervalles non born´ es . . . . . . . . . 346
9.6
Impl´ ementations des quadratures de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . 347
9.7
Approximation d’une fonction au sens des moindres carr´ es . . . 349
9.7.1 Approximation au sens des moindres carr´ es discrets . . 349
9.8
Le polynˆ ome de meilleure approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
9.9
Polynˆ ome trigonom´ etrique de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
9.9.1 La transformation de Fourier rapide . . . . . . . . . . . . . . . . 358
9.10 Approximation des d´ eriv´ ees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
9.10.1 M´ ethodes des diff´ erences finies classiques . . . . . . . . . . . 359
9.10.2 Diff´ erences finies compactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
9.10.3 D´ eriv´ ee pseudo-spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
9.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
10 R´ esolution num´ erique des ´ equations diff´ erentielles
ordinaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
10.1 Le probl` eme de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
10.2 M´ ethodes num´ eriques ` a un pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
10.3 Analyse des m´ ethodes ` a un pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
10.3.1 La z´ ero-stabilit´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
10.3.2 Analyse de la convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
10.3.3 Stabilit´ e absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
10.4 Equations aux diff´ erences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
10.5 M´ ethodes multi-pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
10.5.1 M´ ethodes d’Adams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
10.5.2 M´ ethodes BDF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
10.6 Analyse des m´ ethodes multi-pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393