Table des mati` eres
XV
10.6.1 Consistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
10.6.2 Les conditions de racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
10.6.3 Analyse de stabilit´ e et convergence des m´ ethodes
multi-pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
10.6.4 Stabilit´ e absolue des m´ ethodes multi-pas . . . . . . . . . . . . 397
10.7 M´ ethodes pr´ edicteur-correcteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
10.8 M´ ethodes de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
10.8.1 Construction d’une m´ ethode RK explicite . . . . . . . . . . . 409
10.8.2 Pas de discr´ etisation adaptatif pour les m´ ethodes RK 410
10.8.3 R´ egions de stabilit´ e absolue des m´ ethodes RK . . . . . . . 413
10.9 Syst` emes d’´ equations diff´ erentielles ordinaires . . . . . . . . . . . . . . 414
10.10 Probl` emes raides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
10.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
11 Probl` emes aux limites en dimension un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
11.1 Un probl` eme mod` ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
11.2 Approximation par diff´ erences finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
11.2.1 Analyse de stabilit´ e par la m´ ethode de l’´ energie. . . . . . 424
11.2.2 Analyse de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
11.2.3 Diff´ erences finies pour des probl` emes aux limites 1D
avec coefficients variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
11.3 M´ ethode de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
11.3.1 Formulation int´ egrale des probl` emes aux limites . . . . . 432
11.3.2 Notions sur les distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
11.3.3 Formulation et propri´ et´ es de la m´ ethode
de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
11.3.4 Analyse de la m´ ethode de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . 436
11.3.5 M´ ethode des ´ el´ ements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
11.3.6 Equations d’advection-diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
11.3.7 Probl` emes d’impl´ ementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
11.4 Un aper¸ cu du cas bidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
11.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
12 Probl` emes transitoires paraboliques et hyperboliques . . . . . . 455
12.1 Equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
12.2 Approximation par diff´ erences finies de l’´ equation
de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458
12.3 Approximation par ´ el´ ements finis de l’´ equation
de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
12.3.1 Analyse de stabilit´ e du θ-sch´ ema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
12.4 Equations hyperboliques : un probl` eme
de transport scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
12.5 Syst` emes d’´ equations lin´ eaires hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . 468
12.5.1 Equation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
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10.6.1 Consistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
10.6.2 Les conditions de racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
10.6.3 Analyse de stabilit´ e et convergence des m´ ethodes
multi-pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
10.6.4 Stabilit´ e absolue des m´ ethodes multi-pas . . . . . . . . . . . . 397
10.7 M´ ethodes pr´ edicteur-correcteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
10.8 M´ ethodes de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
10.8.1 Construction d’une m´ ethode RK explicite . . . . . . . . . . . 409
10.8.2 Pas de discr´ etisation adaptatif pour les m´ ethodes RK 410
10.8.3 R´ egions de stabilit´ e absolue des m´ ethodes RK . . . . . . . 413
10.9 Syst` emes d’´ equations diff´ erentielles ordinaires . . . . . . . . . . . . . . 414
10.10 Probl` emes raides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
10.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
11 Probl` emes aux limites en dimension un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
11.1 Un probl` eme mod` ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
11.2 Approximation par diff´ erences finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
11.2.1 Analyse de stabilit´ e par la m´ ethode de l’´ energie. . . . . . 424
11.2.2 Analyse de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
11.2.3 Diff´ erences finies pour des probl` emes aux limites 1D
avec coefficients variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
11.3 M´ ethode de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
11.3.1 Formulation int´ egrale des probl` emes aux limites . . . . . 432
11.3.2 Notions sur les distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
11.3.3 Formulation et propri´ et´ es de la m´ ethode
de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
11.3.4 Analyse de la m´ ethode de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . 436
11.3.5 M´ ethode des ´ el´ ements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
11.3.6 Equations d’advection-diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
11.3.7 Probl` emes d’impl´ ementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
11.4 Un aper¸ cu du cas bidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
11.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
12 Probl` emes transitoires paraboliques et hyperboliques . . . . . . 455
12.1 Equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
12.2 Approximation par diff´ erences finies de l’´ equation
de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458
12.3 Approximation par ´ el´ ements finis de l’´ equation
de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
12.3.1 Analyse de stabilit´ e du θ-sch´ ema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
12.4 Equations hyperboliques : un probl` eme
de transport scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
12.5 Syst` emes d’´ equations lin´ eaires hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . 468
12.5.1 Equation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469