Table des mati` eres
XIII
6.7
R´ esolution des syst` emes d’´ equations non lin´ eaires . . . . . . . . . . 243
6.7.1 La m´ ethode de Newton et ses variantes . . . . . . . . . . . . . 244
6.7.2 M´ ethodes de Newton modifi´ ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
6.7.3 M´ ethodes de Quasi-Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
6.7.4 M´ ethodes de type s´ ecante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
6.7.5 M´ ethodes de point fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
6.8
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
7 Interpolation polynomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
7.1
Interpolation polynomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
7.1.1 Erreur d’interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
7.1.2 Les d´ efauts de l’interpolation polynomiale avec
noeuds ´ equir´ epartis et le contre-exemple de Runge . . . 262
7.1.3 Stabilit´ e du polynˆ ome d’interpolation . . . . . . . . . . . . . . 264
7.2
Forme de Newton du polynˆ ome d’interpolation . . . . . . . . . . . . . 264
7.2.1 Quelques propri´ et´ es des diff´ erences divis´ ees
de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
7.2.2 Erreur d’interpolation avec les diff´ erences divis´ ees . . . . 269
7.3
Interpolation de Lagrange par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
7.4
Interpolation d’Hermite-Birkoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
7.5
Extension au cas bidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
7.5.1 Polynˆ ome d’interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
7.5.2 Interpolation polynomiale par morceaux . . . . . . . . . . . . 274
7.6
Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
7.6.1 Splines d’interpolation cubiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
7.6.2 B-splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
7.7
Splines param´ etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
7.8
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
8 Int´ egration num´ erique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
8.1
Formules de quadrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
8.2
Quadratures interpolatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
8.2.1 Formule du rectangle ou du point milieu . . . . . . . . . . . . 293
8.2.2 La formule du trap` eze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
8.2.3 La formule de Cavalieri-Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
8.3
Les formules de Newton-Cotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
8.4
Formules composites de Newton-Cotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
8.5
Extrapolation de Richardson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
8.5.1 Int´ egration de Romberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
8.6
Int´ egration automatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
8.6.1 Algorithmes d’int´ egration non adaptatifs . . . . . . . . . . . 311
8.6.2 Algorithmes d’int´ egration adaptatifs . . . . . . . . . . . . . . . 313
8.7
Int´ egrales singuli` eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
8.7.1 Int´ egrales des fonctions pr´ esentant des sauts finis . . . . 318
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6.7
R´ esolution des syst` emes d’´ equations non lin´ eaires . . . . . . . . . . 243
6.7.1 La m´ ethode de Newton et ses variantes . . . . . . . . . . . . . 244
6.7.2 M´ ethodes de Newton modifi´ ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
6.7.3 M´ ethodes de Quasi-Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
6.7.4 M´ ethodes de type s´ ecante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
6.7.5 M´ ethodes de point fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
6.8
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
7 Interpolation polynomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
7.1
Interpolation polynomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
7.1.1 Erreur d’interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
7.1.2 Les d´ efauts de l’interpolation polynomiale avec
noeuds ´ equir´ epartis et le contre-exemple de Runge . . . 262
7.1.3 Stabilit´ e du polynˆ ome d’interpolation . . . . . . . . . . . . . . 264
7.2
Forme de Newton du polynˆ ome d’interpolation . . . . . . . . . . . . . 264
7.2.1 Quelques propri´ et´ es des diff´ erences divis´ ees
de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
7.2.2 Erreur d’interpolation avec les diff´ erences divis´ ees . . . . 269
7.3
Interpolation de Lagrange par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
7.4
Interpolation d’Hermite-Birkoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
7.5
Extension au cas bidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
7.5.1 Polynˆ ome d’interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
7.5.2 Interpolation polynomiale par morceaux . . . . . . . . . . . . 274
7.6
Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
7.6.1 Splines d’interpolation cubiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
7.6.2 B-splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
7.7
Splines param´ etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
7.8
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
8 Int´ egration num´ erique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
8.1
Formules de quadrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
8.2
Quadratures interpolatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
8.2.1 Formule du rectangle ou du point milieu . . . . . . . . . . . . 293
8.2.2 La formule du trap` eze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
8.2.3 La formule de Cavalieri-Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
8.3
Les formules de Newton-Cotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
8.4
Formules composites de Newton-Cotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
8.5
Extrapolation de Richardson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
8.5.1 Int´ egration de Romberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
8.6
Int´ egration automatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
8.6.1 Algorithmes d’int´ egration non adaptatifs . . . . . . . . . . . 311
8.6.2 Algorithmes d’int´ egration adaptatifs . . . . . . . . . . . . . . . 313
8.7
Int´ egrales singuli` eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
8.7.1 Int´ egrales des fonctions pr´ esentant des sauts finis . . . . 318