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4.1 • Calcul des propositions
e) Implication
Si Pet Q sont deux propositions, la proposition notée « P => Q » (lire « P implique
Q »)est définie par la table de vérité du tableau 4.7.
Tableau 4.7
p
Q
P :::::> Q
FAUX
FAUX
VRAI
FAUX
VRAI
VRAI
VRAI
FAUX
FAUX
VRAI
VRAI
VRAI
~ Le faux implique« n'importe quoi» mais le vrai n'implique que le vrai.
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QJ
Exemples
- La proposition « 5 < 5 ~ 5 = 5 » est vraie (le faux implique le vrai), tandis que la
proposition « 5 = 5 ~ 5 < 5 » est fausse (le vrai n'implique pas le faux).
- En Python, « ~ » se note « <= ». On a donc True <=Tru e, Fal se<=True ,
Fals e<=Fal se, mais on n'a pas Tr ue <=Fa l se . Testons, sur la console Python, la
valeur de vérité de quelques propositions :
>>> (3 ==2) <= (5<7)
# 3==2 est faux et 5<7 est vra i
True
>>> (2<4) <= (3>5)
Fal se
4.1.3 Propriétés
Exemples
# 2<4 est vrai et 3>5 es t faux
Montrons que la proposition ((P et Q) Ç::} (Q et P)) est vraie, quelles que soient les
valeurs de vérité des propositions P et Q.
Tableau 4.8
p
Q
Pet Q
Qet P
((P et Q) ~ (Q et P))
FAUX
FAUX
FAUX
FAUX
VRAI
FAUX
VRAI
FAUX
FAUX
VRAI
VRAI
FAUX
FAUX
FAUX
VRAI
VRAI
VRAI
VRAI
VRAI
VRAI
Montrons à l'aide d'une table de vérité que la proposition suivante est une tautologie, c'est-à-dire une proposition toujours vraie, quelles que soient les valeurs de
vérité des propositions P, Q et R :
((P ou (Q et R)) Ç::} ((P ou Q) et (P ou R))
Pour condenser la table, nous noterons T cette proposition, Fau lieu de FAUX et V
au lieu de VRAI.
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