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Chapitre 4 • Logique
92
Tableau 4.9
p
Q
R Qet R Pou (Q et R)
Pou Q
Pou R (P ou Q) et (P ou R)
T
F
F
F
F
F
F
F
F
V
F
F
V
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V
V
V
V
V
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F
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
De la même manière, on pourrait démontrer l'ensemble des points de la
propriété 4.1.
Propriété 4.1
Quelles que soient les valeurs de vérité des propositions P, Q et R, les propositions suivantes sont vraies (ce sont des tautologies) :
- (Pet Q) <::::> (Q et P)
(commutativité de l'opérateur et)
- (Pou Q) <::::> (Q ou P)
(commutativité de l'opérateur ou)
- ((Pet Q) et R) <::::>(Pet (Q et R))
(associativité de l'opérateur et)
- ((Pou Q) ou R) <::::>(Pou (Q ou R))
(associativité de l'opérateur ou)
- (Pou (Q et R)) <::::>(Pou Q) et (Pou R) (distributivité de ou par rapport à et)
- (Pet (Q ou R)) <::::>(Pet Q) ou (Pet R)
(distributivité de et par rapport à ou)
- (P => Q) <::::> (non(P) ou Q)
- non( Pet Q) <::::> ((non(P)) ou (non Q))
(loi de Morgan)
- non( Pou Q) <::::> ((non(P)) et (non Q))
(loi de Morgan)
L'utilisation de la propriété précédente permet de simplifier l'écriture de certaines
propositions.
Exemple
La proposition « On n'a pas : x = l ou x > 4 » peut se noter non(x = l ou x > 4),
donc d'après une loi de Morgan, elle peut s'écrire (non(x = l) et non(x > 4)), d'où
plus simplement « x * 1 et x ::;; 4 » .
4.2 CALCUL DES PRÉDICATS
Le symbole V signifie « pour tout » et est appelé quantificateur universel.
Le symbole ::3 signifie « il existe » et est appelé quantificateur existentiel.