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4.2 • Calcul des prédicats
Exemples
«V x E ~. x
2
~ 0 » se lit « pour tout réel x, x
2
~ 0 ».
« ::3 x E ru, n 2 = n » se lit« il existe un entier naturel n tel que n 2 = n ».
Dans les énoncés « x
2 = 9 », « x < y », « n est divisible par 3 » on trouve des
variables (x, y et n).
Ces énoncés ne sont pas des propositions car ils n'ont aucune valeur de vérité.
Cependant, en ajoutant des quantificateurs, chacun de ces énoncés peut devenir une
proposition. Prenons par exemple le prédicat« x
2 = 9 »et considérons les énoncés :
P : « V x E ~. x
2 = 9 »
Q : « :J X E ru, x
2 = 9 »
Pet Q sont bien des propositions puisque ces énoncés ont un sens et une valeur
de vérité : Q est vraie puisque, par exemple on a 3
2 = 9, tandis que Pest fausse car
x
2 = 9 n'est pas vrai pour tout réel x (par exemple 5
2 -=F 9).
Une variable est un élément (nombre, matrice, etc.) pouvant prendre plusieurs
valeurs.
Un prédicat est un énoncé sans valeur de vérité, dans lequel intervient au moins
une variable, et qui devient une proposition par ajout de quantificateurs.
Exemples
- La proposition « ::3 x E ~. x < 1 » qui signifie « il existe un nombre réel x tel que
x < 1 » est vraie puisque par exemple 0 < 1. Cette proposition est constituée d'un
quantificateur existentiel et du prédicat« x < 1 ».
- Considérons les propositions P: « ::3 x E ~. x 2 = 3 »et Q: « ::3 x E ru, x 2 = 3 », dans
lesquelles intervient le prédicat x 2 = 3 . La proposition P est vraie puisque, par
exemple fi/= 3 , tandis que Q est fausse . En effet, 3 n'est le carré d'aucun
nombre entier.
- Soient S et T deux propositions construites autour du prédicat « x < y» (prédi -
cat à deux variables) :
s : « V X E ~. ::3 V E ~. X < V »
T : « ::3 V E ~. V X E ~. X < V »
La proposition S signifie : « pour tout réel x, il existe un réel y tel que x < y ».
Celle-ci est vraie puisque, quel que soit le nombre réel x, on peut toujours trouver
un réel y qui lui est supérieur (il suffit de prendre y= x + 1 ).
La proposition T signifie« il existe un réel y tel que pour tout réel x, x < y ». Celleci est fausse car il n'existe aucun nombre réel supérieur à tous les autres et à luimême .
A\
L'ordre dans lequel interviennent les quantificateurs V et ::3 a une importance .
On ne peut pas le changer sans changer le sens de la proposition.
On ne peut pas changer, dans une proposition, l'ordre des quantificateurs V et ::3
sans changer son sens, mais on peut librement intervertir des quantificateurs de
même nature. Par exemple une proposition du type « V x > 0, V y E ~' etc. » peut
s' écrire«'\/ y E ~'V x > 0, etc.» et une proposition du type « ::3 n E ru, ::3 x > 1, etc.»
peut s' écrire « :J X> 1, :J n E ru, etc.».
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4.2 • Calcul des prédicats
Exemples
«V x E ~. x
2
~ 0 » se lit « pour tout réel x, x
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~ 0 ».
« ::3 x E ru, n 2 = n » se lit« il existe un entier naturel n tel que n 2 = n ».
Dans les énoncés « x
2 = 9 », « x < y », « n est divisible par 3 » on trouve des
variables (x, y et n).
Ces énoncés ne sont pas des propositions car ils n'ont aucune valeur de vérité.
Cependant, en ajoutant des quantificateurs, chacun de ces énoncés peut devenir une
proposition. Prenons par exemple le prédicat« x
2 = 9 »et considérons les énoncés :
P : « V x E ~. x
2 = 9 »
Q : « :J X E ru, x
2 = 9 »
Pet Q sont bien des propositions puisque ces énoncés ont un sens et une valeur
de vérité : Q est vraie puisque, par exemple on a 3
2 = 9, tandis que Pest fausse car
x
2 = 9 n'est pas vrai pour tout réel x (par exemple 5
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Une variable est un élément (nombre, matrice, etc.) pouvant prendre plusieurs
valeurs.
Un prédicat est un énoncé sans valeur de vérité, dans lequel intervient au moins
une variable, et qui devient une proposition par ajout de quantificateurs.
Exemples
- La proposition « ::3 x E ~. x < 1 » qui signifie « il existe un nombre réel x tel que
x < 1 » est vraie puisque par exemple 0 < 1. Cette proposition est constituée d'un
quantificateur existentiel et du prédicat« x < 1 ».
- Considérons les propositions P: « ::3 x E ~. x 2 = 3 »et Q: « ::3 x E ru, x 2 = 3 », dans
lesquelles intervient le prédicat x 2 = 3 . La proposition P est vraie puisque, par
exemple fi/= 3 , tandis que Q est fausse . En effet, 3 n'est le carré d'aucun
nombre entier.
- Soient S et T deux propositions construites autour du prédicat « x < y» (prédi -
cat à deux variables) :
s : « V X E ~. ::3 V E ~. X < V »
T : « ::3 V E ~. V X E ~. X < V »
La proposition S signifie : « pour tout réel x, il existe un réel y tel que x < y ».
Celle-ci est vraie puisque, quel que soit le nombre réel x, on peut toujours trouver
un réel y qui lui est supérieur (il suffit de prendre y= x + 1 ).
La proposition T signifie« il existe un réel y tel que pour tout réel x, x < y ». Celleci est fausse car il n'existe aucun nombre réel supérieur à tous les autres et à luimême .
A\
L'ordre dans lequel interviennent les quantificateurs V et ::3 a une importance .
On ne peut pas le changer sans changer le sens de la proposition.
On ne peut pas changer, dans une proposition, l'ordre des quantificateurs V et ::3
sans changer son sens, mais on peut librement intervertir des quantificateurs de
même nature. Par exemple une proposition du type « V x > 0, V y E ~' etc. » peut
s' écrire«'\/ y E ~'V x > 0, etc.» et une proposition du type « ::3 n E ru, ::3 x > 1, etc.»
peut s' écrire « :J X> 1, :J n E ru, etc.».
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