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Chapitre 4 • Logique
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Exemples
- La négation de « Tous les chats sont gris » est « JI existe un chat non gris » et la
négation de « JI existe un chat gris» est « Tous les chats sont non gris».
- De même, la négation de « 3 x E ~. x
2
= 9 » est « '\/ x E ~. x
2
* 9 » et la négation
de « 3 x E ~. x
2
* 9 » est « '\/ x E ~. x
2
= 9 ».
Plus généralement, on observe la propriété 4.2.
Propriété 4.2
Si p ( x) est un prédicat, alors :
- la négation de la proposition« V x, p(x) »est« 3 x, non (p(x)) » ;
- la négation de la proposition« 3 x, p(x) »est« V x, non (p(x)) ».
Exemples
- La négation de la proposition P : « '\/ n E ru, 2n < 1 OO » est « 3 n E ru, 2n ~ 1 OO ».
La proposition P est fausse puisque toutes les puissances de 2 ne sont pas inférieures à 1 OO. Sa négation est donc vraie (on peut le vérifier en prenant par
exemple n = 10 puisque 2 10 = 1 024 ~ 100).
- La négation de la proposition Q: « 3 n E ru, n/3 E ru» est«'\/ n E ru, n/3 ~ ru». La
proposition Q est vraie car par exemple 6 E ru et 6/3 = 2 E ru. Sa négation est donc
fausse (elle signifie qu'aucun entier naturel n'est divisible par 3).
Quelle est la négation de la proposition « V x E Iœ., 3 y E Iœ., x < y » ?
En appliquant les règles de négation précédentes, on obtient successivement :
« 3 x E Iœ., non(::! y E Iœ., x < y) » puis « 3 x E Iœ., V y E Iœ., non(x < y) », d'où
« 3 X E Iœ., V y E Iœ., X ~ y ».
Propriété 4.3
On obtient la négation d'une proposition formée d' une suite de quantificateurs
suivie d'un prédicat en changeant partout V par 3 et 3 par V puis en changeant
le prédicat par sa négation.
Exemple
La négation de la proposition P : « '\/ n E ru, 3 p E ru, p = n/2 » est nonP : « 3 n E ru,
V p E ru, p * n/2 ».
P est fausse puisqu'elle exprime que tout entier naturel est divisible par 2 . Sa
négation est donc vraie ; elle exprime qu'il existe un entier naturel n qui ne soit
pas divisible pas 2 (par exemple 3 n'est pas divisible par 2).
Pour démonter une affirmation, on peut montrer qu' elle est vraie, mais il peut être
plus simple de montrer que sa négation est fausse et pour montrer qu'une affirmation
est fausse, il peut être aussi plus simple de montrer que sa négation est vraie. Par
exemple, pour démontrer que l'affirmation « V x E Iœ., x
3
t 8 » est fausse, on peut
montrer que sa négation « 3 x E Iœ., x
3 = 8 » est vraie en remarquant que 2 3 = 8 (on
dit qu' il s' agit d 'un contre-exemple).