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3.4 • Résolution de systèmes à l'aide de matrices
3.4 RÉSOLUTION DE SYSTÈMES À L'AIDE DE MATRICES
Exemple introductif
Considérons le système (5) de deux équations à deux inconnues :
2x+3y = 15
3x+4y = 12
.
2 3
X
15
2 3
X
2x + 3 y
51 on pose A=
, X =
et B =
, alors AX =
x
=
3 4
y
12
3 4
y
3x + 4 y
Ainsi le système peut s'écrire AX =B. On a écrit le système (5) sous forme matricielle.
Théorème 3.1
Si un système den équations à n inconnues peut s'écrire sous la forme matricielle
AX = B et si A est inversible, alors ce système possède une unique solution X
donnée par X= A1 x B.
En effet, si AX = B et si A est inversible, alors :
Exemple
A1 xAX =A1 xB
(A1 xA)X = A1 x B
l x X= A1 xB
X =A1 xB
Reprenons le système (5) de l'exemple introductif. La matrice A est inversible et,
avec une calculatrice, on trouve A1 = 1 -
4 3
.
3 - 2
Par conséquent, X= A1 x B = 1 -
4 3 1
15
= 124
3 - 2 12
21
Donc x = -2 4 et y = 21 . La solution du système (S) est (-24 ; 21 ).
X+ 2z = 9
1 Û 2
X
9
Le système y -3z =-4 s'écrit AX=B avec: A= O 1 -3, X= y et B = -4
X + 2y = 5
1 2 Û
Z
5
1,5
-0,5
7
À la calculatrice, A-'= -0,75 -0,5 0,75 et X = A-'xB = -1
--0, 25 - 0, 5 0, 25
1
Donc x = 7, y = - 1 et z= l. La solution du système est (7; - 1 ; 1).
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