"'O
0
c
:J
0
li)
..--t
0
N
@
.......
J::
O'l
·;::::
>0.
0
u
Chapitre 3 • Calcul matriciel
68
3.3 INVERSE D'UNE MATRICE CARRÉE
1 1
2 -0,5
Considérons les matrices A =
et B=
2 4
-1 0,5
1 1
2 -0 5
1 0
AxB=
'
X
2 4
-1 0,5
0 1
2 -0,5
1 1
1 0
B x A=
X
-1 0,5
2 4
0 1
On constate que A x B = B x A= / 2
• Pour la matrice A, on a trouvé une matrice B
telle que les produits A x B et B x A soient égaux à la matrice identité. On dit que la
matrice B est l'inverse de A, que l'on peut noter A1
. La matrice A est dite inversible.
Définition 3.1
Soit A une matrice carrée d'ordre n. S'il existe une matrice carrée B d'ordre n
telle que A x B = B x A = I ,, , alors on dit que la matrice A est inversible et que
sa matrice inverse est B, notée A- 1 .
Pour effectuer cette opération sur Casio, on tape Mat A A(-1) puis EXE dans le
menu RUN. Sur Tl, appuyer sur MATRX puis 1 :[A], puis taper A(-1) et valider par
ENTER.
Si A x B = B x A = l ,, , alors B est l' inverse de A mais on peut aussi dire que A est
l'inverse de B.
Quand elle existe, l 'inverse d' une matrice est unique. En effet, supposons que B et
B' soient inverses de A. Calculons le produit B x A x B' de deux façons :
BxA x B'=(BxA) x B'=l,, xB'=B'
et B xAx B'=Bx(AxB')=B x l ,, =B
Cela prouve que B = B' et par conséquent l'unicité de l'inverse.
En pratique, pour vérifier qu'une matrice Best l'inverse d'une matrice A, un seul
calcul suffit: A x B ou B x A.
Exemple
0 2 - 1
- 0,2 1 - 0, 6
1 0 0
Soient A= 1 1 1 et B= 0,4 0 0,2 ;AxB= 0 1 0 - /
-
3
0 1 2
- 0,2 0 0,4
0 0 1
donc Best l'inverse de A.