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0
LI)
.--t
0
N
@
.......
J::
Ol
·;::::
>0..
0
u
Chapitre 2 • Suites numériques
54
c) Soit q la raison de la suite (un). u 6 = u 4 x q
2 , donc 19,2 = 4,8 x q
2 d'où
q
2
= 19,2/4,8 = 4. Puisque q > 0, on a q = -f4 = 2.
Un= Uo X qn = Uo X 2n ; U4 = Uo X 2
4
= 4,8 donc Uo = 4,8/2
4
= 0,3.
Un= 0,3 X 2n donc U9 = 0,3 X 2
9
= 153,6.
m Un= Uo + nr = 3 + 2n
Vn = 3 3 +
2 n = 3 3 X (3
2 )n = 27 X 9n
Vo = 27 X 9o = 27
V 1 = 27 X 9n+
1
= 27 X 9
11 x 9 = V X 9
n+
n
(vn) est la suite géométrique de premier terme v 0 = 27 et de raison q = 9.
fJll] Si (un) est une suite arithmétique de premier terme u 0 = 10 et de raison r = 3,
alors un= u 0 + nr = 10 + 3n. Si de plus, un des termes de la suite est 101, alors il
existe un entier n tel que un= 101 , donc tel que 3n + 10 = 101. On aurait alors 3n =
91, d'où n = 9113, ce qui est impossible, car 9113 n'est pas un entier.
Le nombre 10 ne peut pas être le premier terme d'une suite arithmétique de raison 3
dont un des termes est 101.
fJll Soit (un) la suite géométrique de premier terme u 0 = 3,75 et de raison q = 2.
On a alors u 11 = u 0 x qn = 3,75 x 2n.
U = 240 <::::> 3 7 5 X 2
11
= 240 <::::> 2
11
= 240/3 7 5 <::::> 2
11
= 64 <::::> n = 6
n
'
'
Cette suite (un) convient. Le nombre 3,75 peut effectivement être le premier terme
d'une suite géométrique de raison 2 dont un des termes est 240.
fJt~ 1) w 1 = wof(w 0 + 1) = 11(1 + 1) = 112; w 2 = w/(w 1 + 1) = (112)/(1/2 + 1) = 113
2) a) vn+l = llwn+I = (wn + l)/wn = wn/wn + llwn = 1 + vn. La suite (vn) est donc arithmétique de raison 1.
b) Pour tout n ~ 0, vn = v 0 + n x 1 = 1/w 0 + n = 1 + n, donc wn = 1/vn = l/(n + 1).
fJIJ S = 1 + 2 + 2
2 + 2
3 + ... + 2
30
= (1 - 2
31 )/(1 - 2) = 2 147 483 647 (somme de
la forme 1 + q + q
2 + ... + qn).
T = 0,1 + 0,2 + 0,3 + ... , 9,9 + 10 = 100 x (0,1 + 10)/2 = 505 (somme de 100 termes
consécutifs d'une suite arithmétique de raison 0,1) .
fJEI U = 2 + 4 + 6 + ... + 998 + 1 000 = 500 x (2 + 1 000)/2 = 250 500 (somme
de 500 termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison 2).
V= Vl + V2+ ... + V10 = Vl X (1 - 0,5
10 )/(l - 0,5) = 5 X (1 - 0,5
10 )/(1 - 0,5) :::> 9,99
(somme de 10 termes consécutifs d'une suite géométrique de raison 0,5).
fJ.1 1 + 2 + 2
2
+ 2
3
+ ... + 2n = (1 - 2
11 +
1
)/(1 - 2) = 2n+l - 1
2n+L 1 = 2 047 <=> 2n+I = 2 048 <=> n + 1 = 11. <=> n = 10. L'entier cherché est 10.
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Chapitre 2 • Suites numériques
54
c) Soit q la raison de la suite (un). u 6 = u 4 x q
2 , donc 19,2 = 4,8 x q
2 d'où
q
2
= 19,2/4,8 = 4. Puisque q > 0, on a q = -f4 = 2.
Un= Uo X qn = Uo X 2n ; U4 = Uo X 2
4
= 4,8 donc Uo = 4,8/2
4
= 0,3.
Un= 0,3 X 2n donc U9 = 0,3 X 2
9
= 153,6.
m Un= Uo + nr = 3 + 2n
Vn = 3 3 +
2 n = 3 3 X (3
2 )n = 27 X 9n
Vo = 27 X 9o = 27
V 1 = 27 X 9n+
1
= 27 X 9
11 x 9 = V X 9
n+
n
(vn) est la suite géométrique de premier terme v 0 = 27 et de raison q = 9.
fJll] Si (un) est une suite arithmétique de premier terme u 0 = 10 et de raison r = 3,
alors un= u 0 + nr = 10 + 3n. Si de plus, un des termes de la suite est 101, alors il
existe un entier n tel que un= 101 , donc tel que 3n + 10 = 101. On aurait alors 3n =
91, d'où n = 9113, ce qui est impossible, car 9113 n'est pas un entier.
Le nombre 10 ne peut pas être le premier terme d'une suite arithmétique de raison 3
dont un des termes est 101.
fJll Soit (un) la suite géométrique de premier terme u 0 = 3,75 et de raison q = 2.
On a alors u 11 = u 0 x qn = 3,75 x 2n.
U = 240 <::::> 3 7 5 X 2
11
= 240 <::::> 2
11
= 240/3 7 5 <::::> 2
11
= 64 <::::> n = 6
n
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Cette suite (un) convient. Le nombre 3,75 peut effectivement être le premier terme
d'une suite géométrique de raison 2 dont un des termes est 240.
fJt~ 1) w 1 = wof(w 0 + 1) = 11(1 + 1) = 112; w 2 = w/(w 1 + 1) = (112)/(1/2 + 1) = 113
2) a) vn+l = llwn+I = (wn + l)/wn = wn/wn + llwn = 1 + vn. La suite (vn) est donc arithmétique de raison 1.
b) Pour tout n ~ 0, vn = v 0 + n x 1 = 1/w 0 + n = 1 + n, donc wn = 1/vn = l/(n + 1).
fJIJ S = 1 + 2 + 2
2 + 2
3 + ... + 2
30
= (1 - 2
31 )/(1 - 2) = 2 147 483 647 (somme de
la forme 1 + q + q
2 + ... + qn).
T = 0,1 + 0,2 + 0,3 + ... , 9,9 + 10 = 100 x (0,1 + 10)/2 = 505 (somme de 100 termes
consécutifs d'une suite arithmétique de raison 0,1) .
fJEI U = 2 + 4 + 6 + ... + 998 + 1 000 = 500 x (2 + 1 000)/2 = 250 500 (somme
de 500 termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison 2).
V= Vl + V2+ ... + V10 = Vl X (1 - 0,5
10 )/(l - 0,5) = 5 X (1 - 0,5
10 )/(1 - 0,5) :::> 9,99
(somme de 10 termes consécutifs d'une suite géométrique de raison 0,5).
fJ.1 1 + 2 + 2
2
+ 2
3
+ ... + 2n = (1 - 2
11 +
1
)/(1 - 2) = 2n+l - 1
2n+L 1 = 2 047 <=> 2n+I = 2 048 <=> n + 1 = 11. <=> n = 10. L'entier cherché est 10.