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Chapitre 2 • Suites numériques
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TD - Évolution d'une liste de diffusion
Le responsable d'un site internet a mis en place une liste de diffusion pour fidéliser
ses utilisateurs. Cette liste compte actuellement exactement 10 000 inscrits.
Depuis sa création, on a pu constater que chaque semaine 20 % se désinscrivent
alors que dans le même temps 4 800 utilisateurs s'inscrivent. On suppose que le
nombre d'inscrits va suivre cette évolution.
Le but de ce TP est alors de répondre aux questions suivantes :
• Question 1 : le nombre d'inscrits va-t-il finir par se stabiliser ?
• Question 2 : arrivera-t-on à dépasser les 23 000 inscrits ? Si oui, en combien de
temps?
Pour cela, on note un le nombre d'inscrits (en milliers) dans n semaine(s). On a
donc:
u 0 = 10 et un+l = 0,8un + 4,8
1. Conjecture
À l'aide d'une calculatrice, émettre une conjecture sur la limite de la suite (un).
2. Suite auxiliaire
Pour tout n E N, on pose vn = (24 - un)/ 14. On a utilisé un tableur, avec la disposition de la fig. 2.5, pour obtenir les premiers termes de la suite (un) et ceux de la
suite (vn).
A
c
n
Vn
0
3
1
2
5
3
6
4
Figure 2.5
a) Qu'a-t-on saisi dans la cellule B2, dans la cellule B3 avant de l'étirer vers le bas et
dans la cellule C2 avant de l'étirer vers le bas ?
b) Émettre une conjecture sur l'expression de vn en fonction den.
3. Démonstrations
a) Montrer que (vn) est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme v 0 = 1.
b) En déduire l'expression de vn, puis celle de un en fonction den.
c) Combien devrait-il y avoir d'inscrits dans dix semaines ?