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Chapitre 2 • Suites numériques
42
2.4 LIMITE D'UNE SUITE
Soient (un) une suite numérique et L un nombre réel :
• On dit que la limite de la suite (un) est L (ou que la suite tend vers L) lorsque, pour
tout entier n suffisamment grand, tous les un peuvent être rendus aussi proches de
L qu'on le souhaite. On peut alors noter: lim u,, = L.
n-+too
• On dit que la limite de la suite (un) est+= (ou que la suite tend vers+=) lorsque,
pour tout entier n suffisamment grand, tous les un peuvent être rendus aussi grands
qu'on le souhaite. On peut alors noter: lim ut!=+=.
n-+too
• On dit que la limite de la suite (un) est -oo (ou que la suite tend vers -oo) lorsque,
pour tout entier n suffisamment grand, tous les un peuvent être rendus aussi petits
qu'on le souhaite. On peut alors noter : lim ut! = - 00 .
n~+oo
Exemple
Soient (un), (vn) et (wn) les suites numériques définies pour tout n ~ l par :
Un= 100/n, Vn= n
2 et Wn= 1 - lOn.
On a représenté à partir d'un tableur les premiers termes de ces suites.
A
B
c
D
250
'
•
n
Un
Vn
Wn
200
•
1
100
1
-9
•
2
50
4
-19
150
•
3
33,33333333
9
-29
•
4
25
16
-39
100 •
•
•
5
20
25
-49
50
•
•
•Un
6
16 ,66666667
36
-59
•
• •
+ Vn
' •
7
14,28571429
49
-69
O t • •
• • • • • • • • • • • Wn
8
12,5
64
-79
-50 1 ! y
•
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
9
11, 111 11111
81
-89
T T
10
10
100
-99
T T T
11
9,090909091
121
-109
-100
T
T
T
12
8 ,333333333
144
-119
T T
-150
T
13
7,692307692
169
-129
14
7,142857143
196
-139
-200
Figure 2.3
On peut conjecturer et on pourrait démontrer que pour n suffisamment grand :
- Tous les un peuvent être rendus aussi proches de 0 qu'on le souhaite.
- Tous les vn peuvent être rendus aussi grands qu'on le souhaite.
- Tous les wn peuvent être rendus aussi petits qu'on le souhaite .
La limite de la suite (un) est donc 0, celle de la suite (vn) est +oo et celle de la suite
(wn) est - oo . On peut écrire: lim u
11
=0; lim v
11
= +oo ; limw,, = -oo .
n-H ·oo
n-t+oo
n-H ·OQ
Considérons la suite (un) définie pour tout n;;::: 0 par un= (-1)'1. Les termes de cette
suite sont 1 ; -1 ; l ; -1 ; 1 ; ... Lorsque n devient grand, les un ne se stabilisent vers
aucune valeur particulière. On dit que cette suite n'a pas de limite.
Exemple
Soient (un), (Vn) les suites géométriques définies pour tout n ~ 0 par Un = l 0 X o,sn
et vn = 0,8 x l ,2n. On a représenté fig . 2.4 les premiers termes de ces suites.
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Chapitre 2 • Suites numériques
42
2.4 LIMITE D'UNE SUITE
Soient (un) une suite numérique et L un nombre réel :
• On dit que la limite de la suite (un) est L (ou que la suite tend vers L) lorsque, pour
tout entier n suffisamment grand, tous les un peuvent être rendus aussi proches de
L qu'on le souhaite. On peut alors noter: lim u,, = L.
n-+too
• On dit que la limite de la suite (un) est+= (ou que la suite tend vers+=) lorsque,
pour tout entier n suffisamment grand, tous les un peuvent être rendus aussi grands
qu'on le souhaite. On peut alors noter: lim ut!=+=.
n-+too
• On dit que la limite de la suite (un) est -oo (ou que la suite tend vers -oo) lorsque,
pour tout entier n suffisamment grand, tous les un peuvent être rendus aussi petits
qu'on le souhaite. On peut alors noter : lim ut! = - 00 .
n~+oo
Exemple
Soient (un), (vn) et (wn) les suites numériques définies pour tout n ~ l par :
Un= 100/n, Vn= n
2 et Wn= 1 - lOn.
On a représenté à partir d'un tableur les premiers termes de ces suites.
A
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1
100
1
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3
33,33333333
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-29
•
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16
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100 •
•
•
5
20
25
-49
50
•
•
•Un
6
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• •
+ Vn
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7
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49
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• • • • • • • • • • • Wn
8
12,5
64
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10
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12
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-150
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13
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169
-129
14
7,142857143
196
-139
-200
Figure 2.3
On peut conjecturer et on pourrait démontrer que pour n suffisamment grand :
- Tous les un peuvent être rendus aussi proches de 0 qu'on le souhaite.
- Tous les vn peuvent être rendus aussi grands qu'on le souhaite.
- Tous les wn peuvent être rendus aussi petits qu'on le souhaite .
La limite de la suite (un) est donc 0, celle de la suite (vn) est +oo et celle de la suite
(wn) est - oo . On peut écrire: lim u
11
=0; lim v
11
= +oo ; limw,, = -oo .
n-H ·oo
n-t+oo
n-H ·OQ
Considérons la suite (un) définie pour tout n;;::: 0 par un= (-1)'1. Les termes de cette
suite sont 1 ; -1 ; l ; -1 ; 1 ; ... Lorsque n devient grand, les un ne se stabilisent vers
aucune valeur particulière. On dit que cette suite n'a pas de limite.
Exemple
Soient (un), (Vn) les suites géométriques définies pour tout n ~ 0 par Un = l 0 X o,sn
et vn = 0,8 x l ,2n. On a représenté fig . 2.4 les premiers termes de ces suites.