"'O
0
c
:J
0
li)
..--t
0
N
@
.......
J::
O'l
·;::::
>0.
0
u
Chapitre 2 • Suites numériques
40
On obtient(**) en utilisant(*) avec la suite géométrique (un) de terme général qn.
Si q = 1, tous les termes de la suite (un) sont égaux à u 0 , donc :
Uo+ U1 + ... +Un= (n+l)uo
Exemple
l + 2 + 2 2 + ... + 2 20 = (l - 2 21 ) / (l - 2) = 2 097 l 51
(Exercice d'application 2.2
Soit (un) une suite géométrique de raison q = 0,9 et de premier terme u 0 = 1 O.
a) Exprimer un en fonction de n.
b) Déterminer u 0 + u 1 + ... + u 24 .
SOLUTION. a) un= u 0 X qn = 10 X 0,9n
b) Uo+ U1 + ... + U24 = Uo X (1-q
24 +
1
) / (1-q) = 10 X (1-0,9
25 ) / (1-0,9);:::: 92,82
(à 10- 2 près)
__ )
2.3 VARIATIONS D'UNE SUITE
On dit qu'une suite (un) de nombres réels est:
•
si ses termes sont rangés par ordre croissant, c'est-à-dire si pour tout n,
Un~ Un+I·
•
si ses termes sont rangés par ordre décroissant, c'est-à-dire si pour
tout n, Un;::: Un+ J ·
• monotone si elle est croissante ou décroissante.
Exemples
- Soit (un) la suite définie pour tout n ~ 0 par u 0 = 36 et un+l = un/2 + 4.
Ses premiers termes sont : u 0 = 36 ; u 1 = 36/2 + 4 = 22 ; u 2 =22/2 + 4 = 1 5
u 3 = 1 5/2 + 4 = l l ,5 ; etc. On les a obtenus avec un tableur: en rentrant 36 dans
la cellule 82 puis « =82/2+4 » dans la cellule 83 avant de l'étirer vers le bas. On
peut remarquer que les termes sont rangés par ordre décroissant, la suite (un) est
donc décroissante.
- Soit (un) la suite définie pour tout n ~ 0 par un= 3n + l. Ses termes sont l, 4, 7,
l 0, etc. Ils sont rangés par ordre croissant. La suite (un) est donc croissante.
- Les termes de la suite (vn) définie pour tout n ~ 0 par vn = (- 2)n sont v 0 = l, v 1 = - 2 ,
v 2 = 4, v 3 = -8, etc. Ils ne sont rangés ni par ordre croissant, ni par ordre décroissant,
la suite n'est donc pas monotone.