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0
N
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.......
J::
O'l
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>0.
0
u
2.2 • Suites particulières
Exemples
• Soit (un) la suite numérique définie par u 1 = 2 et Un+l = nun. On a u 2 = 1 x u 1
= 1 x 2 = 2 et u 3 = 2 x u 2 = 2 x 2 = 4 . On ne multiplie pas toujours par le même
nombre pour passer d'un terme au suivant : on multiplie par 1 pour passer de u 1 à
u 2 et par 2 pour passer de u 2 à u 3 . Cette suite n'est donc pas géométrique.
• Soit (vn) la suite numérique définie par v 0 = 2 et vn+i = vn/l O. Cette dernière
égalité peut s'écrire vn+i = 0, 1 vn. On multiplie donc toujours par 0, 1 pour passer
d'un terme au suivant, ce qui montre que la suite (vn) est géométrique de raison
0, 1. On a alors , pour tout entier n ~ 0, vn = v 0 x 0, 1 n = 2 x 0 , 1 n.
Propriété 2.5
Une suite de terme général a x bn (avec a,b E Iffi.) est géométrique de raison b.
En effet si u =a x bn alors u
= a x bn+ 1 = a x bn x b = u x b
n
'
n + l
n
·
Exemple
Des suites de termes généraux 3n, 6 x (-2)n et -4 x 1 ,sn sont géométriques de
raisons 3, -2 et 1 ,8 respectivement.
Nous allons voir dans la propriété suivante que si (un) est une suite géométrique
de raison q, on peut calculer toute somme de termes consécutifs de cette suite
(comme par exemple S = u 0 + u 1 + u 2 + ... + u 80 ) en utilisant uniquement la raison
de la suite, le nombre de termes et le premier terme de la somme (S peut donc se
calculer à partir des nombres q, 81 et u 0 ).
Propriété 2.6
Si S est une somme de termes consécutifs d' une suite géométrique de raison q ' i=- 1,
alors on a S =premier terme X (1 -qnombredetermes) / (l - q).
Cas particuliers importants - Si (un) est une suite géométrique de raison q i= l
alors :
~
1- n+ I
~ • Pour tout entier n ~ 0, u 0 + u 1 + ... + u
11
= u 0 X
1
q
(*)
V
-q
~
0
1
Il
~
-q
c:
•
Pourtoutentiern ~ l,u 1 +u 2 + ... +u,, =u 1 x - - -
~
1- q
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~
V
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~
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2.2 • Suites particulières
Exemples
• Soit (un) la suite numérique définie par u 1 = 2 et Un+l = nun. On a u 2 = 1 x u 1
= 1 x 2 = 2 et u 3 = 2 x u 2 = 2 x 2 = 4 . On ne multiplie pas toujours par le même
nombre pour passer d'un terme au suivant : on multiplie par 1 pour passer de u 1 à
u 2 et par 2 pour passer de u 2 à u 3 . Cette suite n'est donc pas géométrique.
• Soit (vn) la suite numérique définie par v 0 = 2 et vn+i = vn/l O. Cette dernière
égalité peut s'écrire vn+i = 0, 1 vn. On multiplie donc toujours par 0, 1 pour passer
d'un terme au suivant, ce qui montre que la suite (vn) est géométrique de raison
0, 1. On a alors , pour tout entier n ~ 0, vn = v 0 x 0, 1 n = 2 x 0 , 1 n.
Propriété 2.5
Une suite de terme général a x bn (avec a,b E Iffi.) est géométrique de raison b.
En effet si u =a x bn alors u
= a x bn+ 1 = a x bn x b = u x b
n
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Exemple
Des suites de termes généraux 3n, 6 x (-2)n et -4 x 1 ,sn sont géométriques de
raisons 3, -2 et 1 ,8 respectivement.
Nous allons voir dans la propriété suivante que si (un) est une suite géométrique
de raison q, on peut calculer toute somme de termes consécutifs de cette suite
(comme par exemple S = u 0 + u 1 + u 2 + ... + u 80 ) en utilisant uniquement la raison
de la suite, le nombre de termes et le premier terme de la somme (S peut donc se
calculer à partir des nombres q, 81 et u 0 ).
Propriété 2.6
Si S est une somme de termes consécutifs d' une suite géométrique de raison q ' i=- 1,
alors on a S =premier terme X (1 -qnombredetermes) / (l - q).
Cas particuliers importants - Si (un) est une suite géométrique de raison q i= l
alors :
~
1- n+ I
~ • Pour tout entier n ~ 0, u 0 + u 1 + ... + u
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