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Chapitre 2 • Suites numériques
38
Cas particuliers importants - Si (un) est une suite arithmétique alors :
.
u +u
• Pour tout entier n ;::: 0, Uo + u, + ... +un = (n + 1)
0
n
2
u 1 +un
• Pour tout entier n ;::: 1, u, + ... + u = n
(*)
n
2
n(n+ 1)
• Pour tout entier n ;::: 1, 1 + 2 + ... + n =
(**)
2
On obtient l'égalité(* *) en utilisant(*) avec la suite arithmétique (un) de terme
général n.
Exemple
l + 2 + ... + 99 + l OO = l OO x (l OO+ l) / 2 = 5 050
( Exercice d'application 2. 1
Soit (un) la suite arithmétique de raison r = 3 et de premier terme u 0 = 5.
a) Exprimer un en fonction den.
b) Calculer u 0 + u 1 + ... + u 89 .
SOLUTION. a) un = Uo + nr = 5 + 3n
b) Uo + u, + ... + Ug9 = 90 X (uo + Ug9)12 = 90 X (5 + (5 + 3 X 89))/2 = 12 465
_ )
2.2.2 Suites géométriques
On dit qu' une suite (un) est géométrique lorsqu'on passe d'un terme de cette suite
au suivant en multipliant toujours par le même nombre, c'est-à-dire s'il existe un
réel q tel que pour tout entier n, un+l =un x q. Le nombre q est alors appelé la raison
de la suite (un).
Exemples
Soit (v 11 ) la suite définie par v 0 =3 et vn+l = 2vn- On passe d'un terme de la suite (v 11 )
au suivant en multipliant par 2 : v 1 = 2 v 0 = 3 x 2 = 6 ; v 2 = 2 v 1 = 6 x 2 = 12 ;
v 3 = 2 v 2 = 1 2 x 2 = 24 ; etc. La suite (v 11 ) est géométrique de raison 2 et de premier
terme 3 .
Propriété 2.4
Si (un) est une suite géométrique de raison q alors :
- Pour tout entier n ;::: 0, u
11
= u 0 x qn.
- Pour tout entier n ;::: 1, un= u 1 x qn1 •
- Pour tout entier n ;::: 2, un = u 2 x qn2 .
- Etc.