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2.2 • Suites particulières
Exemple
Soit (un) la suite définie par u 0 = 3 et Un+l =un+ 2. On passe d'un terme de la suite
(un) au suivant en ajoutant 2 : u 1 = u 0 + 2 = 3 + 2 = 5 ; u 2 = u 1 + 2 = 5 + 2 = 7 ; u 3 =
u 1 + 2 = 7 + 2 = 9 ; etc. La suite (un) est arithmétique de raison 2 et de premier
terme 3.
Propriété 2.1
Si (un) est une suite arithmétique de raison r, alors :
- Pour tout entier n ~ 0, un= u 0 + nr.
- Pour tout entier n ~ 1, un= u 1 + (n-l)r.
- Pour tout entier n ~ 2, un= u 2 + (n-2)r.
-Etc.
Exemples
- Soit (un) la suite numérique définie par u 0 = 5 et Un+l = Un + n.
On a u 1 = u 0 + 0 = 5 + 0 = 5 et u 2 = u 1 + 1 = 5 + 1 = 6. Cette suite n'est pas arithmétique
car on ne passe pas d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre
(on ajoute 0 pour passer de u 0 à u 1 et on ajoute 1 pour passer u 1 de à u 2 ) .
- Soit (vn) la suite numérique définie par v 0 = 7 et Vn+l = vn - 0, 1. Cette suite est
arithmétique de raison r = - 0, 1 puisqu'on ajoute toujours - 0, 1 pour passer d'un
terme au suivant. On a donc, pour tout entier n ~ 0, vn= v 0 + n x (-0, 1) = 7 - 0, 1 n.
Propriété 2.2
Une suite de terme général an+ b (avec a ,b E IR{) est arithmétique de raison a.
En effet si un= an+ b, alors un+ 1 = a(n + 1) + b =an +a + b =an+ b +a= un+ a .
Exemples
Des suites de termes généraux 7 n + 2, -3 ,2 n + 5 et n - 10 sont arithmétiques de
raisons 7, -3,2 et 1 respectivement.
Nous allons voir dans la propriété suivante que si (un) est une suite arithmétique,
on peut calculer toute somme de termes consécutifs de cette suite (par exemple
S = uw + u 11 + ... + u 100 ) en utilisant uniquement le nombre de termes, le premier et
le dernier terme de cette somme (S peut donc se calculer à partir de 91, u 10 et u 100 ).
Propriété 2.3
Si S est une somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique, alors on a:
S = nombre de termes x (premier terme + dernier terme)/ 2
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2.2 • Suites particulières
Exemple
Soit (un) la suite définie par u 0 = 3 et Un+l =un+ 2. On passe d'un terme de la suite
(un) au suivant en ajoutant 2 : u 1 = u 0 + 2 = 3 + 2 = 5 ; u 2 = u 1 + 2 = 5 + 2 = 7 ; u 3 =
u 1 + 2 = 7 + 2 = 9 ; etc. La suite (un) est arithmétique de raison 2 et de premier
terme 3.
Propriété 2.1
Si (un) est une suite arithmétique de raison r, alors :
- Pour tout entier n ~ 0, un= u 0 + nr.
- Pour tout entier n ~ 1, un= u 1 + (n-l)r.
- Pour tout entier n ~ 2, un= u 2 + (n-2)r.
-Etc.
Exemples
- Soit (un) la suite numérique définie par u 0 = 5 et Un+l = Un + n.
On a u 1 = u 0 + 0 = 5 + 0 = 5 et u 2 = u 1 + 1 = 5 + 1 = 6. Cette suite n'est pas arithmétique
car on ne passe pas d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre
(on ajoute 0 pour passer de u 0 à u 1 et on ajoute 1 pour passer u 1 de à u 2 ) .
- Soit (vn) la suite numérique définie par v 0 = 7 et Vn+l = vn - 0, 1. Cette suite est
arithmétique de raison r = - 0, 1 puisqu'on ajoute toujours - 0, 1 pour passer d'un
terme au suivant. On a donc, pour tout entier n ~ 0, vn= v 0 + n x (-0, 1) = 7 - 0, 1 n.
Propriété 2.2
Une suite de terme général an+ b (avec a ,b E IR{) est arithmétique de raison a.
En effet si un= an+ b, alors un+ 1 = a(n + 1) + b =an +a + b =an+ b +a= un+ a .
Exemples
Des suites de termes généraux 7 n + 2, -3 ,2 n + 5 et n - 10 sont arithmétiques de
raisons 7, -3,2 et 1 respectivement.
Nous allons voir dans la propriété suivante que si (un) est une suite arithmétique,
on peut calculer toute somme de termes consécutifs de cette suite (par exemple
S = uw + u 11 + ... + u 100 ) en utilisant uniquement le nombre de termes, le premier et
le dernier terme de cette somme (S peut donc se calculer à partir de 91, u 10 et u 100 ).
Propriété 2.3
Si S est une somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique, alors on a:
S = nombre de termes x (premier terme + dernier terme)/ 2
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