Chapitre l • Arithmétique
llld a) 1 est son propre inverse.
2 x 4 = 8 =1[7] donc 2 et 4 sont inverses l'un de l'autre.
3 x 5 = 15 =1[7] donc 3 et 5 sont inverses l'un de l'autre.
6 x 6 = 36 =1 [7] donc 6 est son propre inverse.
b) 3x = 4[7] <=> 5 X 3x = 5 X 4[7] <=>X= 6[7]
Les solutions de l'équation sont tous les entiers congrus à 6 modulo 7.
Les solutions comprises entre 100 et 140 sont: 104, 111 , 118, 125, 132, 139.
llf4a)
Tableau 1.1 3
Nombre
l
2
3
4
5
6
7
8
9
Inverse modulo 11
1
6
4
3
9
2
8
7
5
b) 4x + 7 = 8[11] <=::> 3(4x + 7) = 3 X 8[11] <=::> l2x + 21= 24[11] <=::> x = 3[11]
Les solutions de l'équation sont tous les entiers congrus à 3 modulo 11
10
10
llf:) a) v = 22, on additionne 22 + 0 + 2 + 3 + 8 + 7 + O+ 4 + 0 + 3 + 3 + 4 = 56.
Dans la division par 9, le reste est 2 donc ce billet est un faux.
m = 13, on additionne 13 + 1 + 2 + 0 + 6 + 5 + 9 + 7 + 4 + 4 + 3 + 8 = 62. Dans la
division par 9, le reste est 8 donc le billet est un vrai.
b) s = 19. Si on note x le dernier chiffre, la somme est 51 + x. Le reste dans la division par 9 est 8 lorsque x = 2 (c'est la seule possibilité avec 0 ~ x ~ 9).
c) Notons a la valeur lettre manquante, 0 ~a~ 26. La somme est a+ 27, elle doit
être congrue à 8 modulos 9. Donc comme 27 = 0[9], alors on doit avoir a= 8[9] ce
qui donne comme possibilités a = 8, a = 17, a = 26 c 'est-à-dire les lettres i, q et z.
~
d) Taper un 9 à la place d'un 0 ne changerait pas le reste de la division euclidienne,
§
c'est donc une erreur non détectable.
0
~
llQl a) Pour le premier code:
N
@
Tableau 1 .1 4
.......
J::
Ol
·;::::
>0..
0
u
Chiffre
Coefficient
multiplicateur
Résultat
4
9
1
3
4 27
7
l
8
5
1
3
1
3
7
3
8
1 5
0
l
3
8
l
6
1
3
1
3
1
3
0
3
3
24
1
1 8
La somme totale est 113. Le reste dans la division par 10 est 3 donc la clé est
10 - 3 = 7.
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llld a) 1 est son propre inverse.
2 x 4 = 8 =1[7] donc 2 et 4 sont inverses l'un de l'autre.
3 x 5 = 15 =1[7] donc 3 et 5 sont inverses l'un de l'autre.
6 x 6 = 36 =1 [7] donc 6 est son propre inverse.
b) 3x = 4[7] <=> 5 X 3x = 5 X 4[7] <=>X= 6[7]
Les solutions de l'équation sont tous les entiers congrus à 6 modulo 7.
Les solutions comprises entre 100 et 140 sont: 104, 111 , 118, 125, 132, 139.
llf4a)
Tableau 1.1 3
Nombre
l
2
3
4
5
6
7
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Inverse modulo 11
1
6
4
3
9
2
8
7
5
b) 4x + 7 = 8[11] <=::> 3(4x + 7) = 3 X 8[11] <=::> l2x + 21= 24[11] <=::> x = 3[11]
Les solutions de l'équation sont tous les entiers congrus à 3 modulo 11
10
10
llf:) a) v = 22, on additionne 22 + 0 + 2 + 3 + 8 + 7 + O+ 4 + 0 + 3 + 3 + 4 = 56.
Dans la division par 9, le reste est 2 donc ce billet est un faux.
m = 13, on additionne 13 + 1 + 2 + 0 + 6 + 5 + 9 + 7 + 4 + 4 + 3 + 8 = 62. Dans la
division par 9, le reste est 8 donc le billet est un vrai.
b) s = 19. Si on note x le dernier chiffre, la somme est 51 + x. Le reste dans la division par 9 est 8 lorsque x = 2 (c'est la seule possibilité avec 0 ~ x ~ 9).
c) Notons a la valeur lettre manquante, 0 ~a~ 26. La somme est a+ 27, elle doit
être congrue à 8 modulos 9. Donc comme 27 = 0[9], alors on doit avoir a= 8[9] ce
qui donne comme possibilités a = 8, a = 17, a = 26 c 'est-à-dire les lettres i, q et z.
~
d) Taper un 9 à la place d'un 0 ne changerait pas le reste de la division euclidienne,
§
c'est donc une erreur non détectable.
0
~
llQl a) Pour le premier code:
N
@
Tableau 1 .1 4
.......
J::
Ol
·;::::
>0..
0
u
Chiffre
Coefficient
multiplicateur
Résultat
4
9
1
3
4 27
7
l
8
5
1
3
1
3
7
3
8
1 5
0
l
3
8
l
6
1
3
1
3
1
3
0
3
3
24
1
1 8
La somme totale est 113. Le reste dans la division par 10 est 3 donc la clé est
10 - 3 = 7.
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