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0
QJ
Exercices corrigés
c) Le produit de trois entiers naturels consécutifs est toujours un multiple de 6.
lllJ a)
Tableau 1.1 1
n = ...... [S]
0
l
2
3
4
n2 = ...... [S]
0
1
4
4
1
n3 = ...... [S]
0
1
3
2
4
ns = ...... [S]
0
1
2
3
4
4n = ...... [S]
0
4
3
2
1
n
5 + 4n = ...... [S]
0
0
0
0
0
b) Pour tout entier naturel n, le reste de la division euclidienne de n 5 + 4n par 5 est O.
Autrement dit, n
5
+ 4n est toujours un multiple de 5.
1111 a)
Tableau 1.12
1 ff'~ ...... [7] 1
0
2
3
4
5
6
0
6
6
6
n = ...... [7]
b) 4 est le reste de la division euclidienne de 1 789 par 7 donc 1789=4[7]. Donc
1 789 3 = 4 3 [7] =1 [7].
c) 1 789 = 3 x 596 + 1 donc 1 789
1789 = 1 789
3 x
596 +
1 = (1 789
3 )
596 x 1 789.
d) 1 789 1789 =: (1 789 3 ) 596 X 1 789[7] =: 1 596 X 1 789[7] =: 1 789[7] =: 4[7].
Le reste de la division euclidienne de 1 789
1789 par 7 est 4.
11191 a= b [ n J donc il existe un entier naturel k tel que a- b = kn.
c = d [ n J donc il existe un entier naturel k' tel que c- d = k'n.
a) a-b+c-d=kn+k'n~(a+c)-(b+d)=(k+k')n. Puisque (k +k')n est un
multiple de n, cela prouve que a+ c = b + d [ n J .
b) a - b = kn => p(a - b) = pkn => pa - pb = (pk )n . Puisque (pk)n est un multiple
den, on a prouvé que pa = pb[ n J.
c) a-b=kn~a=b+kn et c-d=k'n~c=d+k'n.
Alors ac= (b + kn)(d + k'n) =bd+ bk'n + dkn+ kk'n 2 =bd+ (bk'+ dk + kk'n)n.
Donc ac - bd = (bk '+ dk + kk 'n )n , qui est un multiple de n, donc on a prouvé que
ac = bd[n].
31