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0
N
@
.......
J::
Ol
·;::::
>0..
0
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Chapitre l • Arithmétique
30
IM:J Le nombre de bouquets dit être le PGCD de 280 et de 490.
280 = 2 3 X 5 X 7 et 490 = 2 X 5 X 7
2 donc PGCD(280;490) = 2 X 5 X 7 = 70.
On peut donc faire au plus 70 bouquets. Chacun d'eux aura alors 4 roses rouges et
7 roses blanches.
1@1 Le côté de chaque carré doit être un diviseur des dimensions en millimètres
de la feuille et pour que les carrés soient les plus gros possibles, il faut que ce soit le
PGCD de 210 et 297 (dimensions en mm).
210 = 2 x 3 x 5 x 7 et 297 = 3
3 x 11 et donc PGCD(210;297) = 3.
Les carrés auront 3 mm de côté. Sur la largeur, on fera 210:3 = 70 carrés, sur la
longueur, on en fera 297:3 = 99, ce qui fera 70 x 99 = 6 930 carrés.
11111 a) 6 est le reste de la division euclidienne de 90 par 7, et 3 est le reste de la
division euclidienne de 66 par 7.
b) 90 + 66 = 6 + 3 [ 7] = 2 [ 7]
90 X 66=6X3[7]=18[7] = 4[7]
66
3 = 3
3 [7] = 27 [7] = 6[7]
4 X 90 = 4 X 6 [ 7] = 24 [ 7] = 3 [ 7]
90
2 = 6
2 [7] = 36[7] = 1[7]
lllla) 200 = 13 x 15+5 donc 200=5[13]
900=13 x 69 + 3 donc 900 = 3[13]
b) 200 + 900 = 5 + 3 [ 13] = 8 [ 13]
200
2 = 5
2 [13]=12[13]
200 X 900 = 5 X 3 [ 13] = 2 [ 13]
900
3 = 3
3 [13]=1[13]
c) 200
4 = (200
2 )2donc 200
4 =12
2 [13]=144[13]=1[13]
900
6 = ( 900
3
r donc 900
6 = I2 [ 13] = 1 [ 13]
200
4 + 900
6 = 1 + 1 [ 13 J = 2 [ 13 J , le reste de la division euclidienne de 200
4 + 900
6
par 13 est 2.
llt"I a) Dans la division euclidienne par 6, le reste est 0, 1, 2, 3, 4 ou 5. Donc tout
entier naturel est congru à un de ces 6 nombres.
b)
Tableau 1.1 O
n = ...... [6]
0
1
2
3
4
5
n+l= ...... [6]
1
2
3
4
5
0
n+2 = ...... [6]
2
3
4
5
0
1
n(n + l)(n + 2) = ...... [6] 0
0
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Chapitre l • Arithmétique
30
IM:J Le nombre de bouquets dit être le PGCD de 280 et de 490.
280 = 2 3 X 5 X 7 et 490 = 2 X 5 X 7
2 donc PGCD(280;490) = 2 X 5 X 7 = 70.
On peut donc faire au plus 70 bouquets. Chacun d'eux aura alors 4 roses rouges et
7 roses blanches.
1@1 Le côté de chaque carré doit être un diviseur des dimensions en millimètres
de la feuille et pour que les carrés soient les plus gros possibles, il faut que ce soit le
PGCD de 210 et 297 (dimensions en mm).
210 = 2 x 3 x 5 x 7 et 297 = 3
3 x 11 et donc PGCD(210;297) = 3.
Les carrés auront 3 mm de côté. Sur la largeur, on fera 210:3 = 70 carrés, sur la
longueur, on en fera 297:3 = 99, ce qui fera 70 x 99 = 6 930 carrés.
11111 a) 6 est le reste de la division euclidienne de 90 par 7, et 3 est le reste de la
division euclidienne de 66 par 7.
b) 90 + 66 = 6 + 3 [ 7] = 2 [ 7]
90 X 66=6X3[7]=18[7] = 4[7]
66
3 = 3
3 [7] = 27 [7] = 6[7]
4 X 90 = 4 X 6 [ 7] = 24 [ 7] = 3 [ 7]
90
2 = 6
2 [7] = 36[7] = 1[7]
lllla) 200 = 13 x 15+5 donc 200=5[13]
900=13 x 69 + 3 donc 900 = 3[13]
b) 200 + 900 = 5 + 3 [ 13] = 8 [ 13]
200
2 = 5
2 [13]=12[13]
200 X 900 = 5 X 3 [ 13] = 2 [ 13]
900
3 = 3
3 [13]=1[13]
c) 200
4 = (200
2 )2donc 200
4 =12
2 [13]=144[13]=1[13]
900
6 = ( 900
3
r donc 900
6 = I2 [ 13] = 1 [ 13]
200
4 + 900
6 = 1 + 1 [ 13 J = 2 [ 13 J , le reste de la division euclidienne de 200
4 + 900
6
par 13 est 2.
llt"I a) Dans la division euclidienne par 6, le reste est 0, 1, 2, 3, 4 ou 5. Donc tout
entier naturel est congru à un de ces 6 nombres.
b)
Tableau 1.1 O
n = ...... [6]
0
1
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n+l= ...... [6]
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n+2 = ...... [6]
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n(n + l)(n + 2) = ...... [6] 0
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