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QJ
Exercices corrigés
Classés par ordre croissant, les diviseurs de 48 sont: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 et 48.
b) 135 = 3 3 x 5. Les diviseurs de 135 sont de la forme 3i x Si avec i qui vaut 0, 1, 2
ou 3 etj qui vaut 0 ou 1. Classés par ordre croissant, les diviseurs de 135 sont : 1, 3,
5, 9, 15, 27, 45 et 135.
llQI a) 1617 = 3 x 7 2 x 11. Les diviseurs de 1617 sont 1, 3, 7, 11, 21, 33, 49, 77,
147, 231, 539 et 1617.
b) 5 915 = 5 x 7 x 13 2 . Les diviseurs de 5915 sont 1, 5, 7, 13, 35, 65, 91, 169, 455,
845, 1183 et 5915.
llft1J a) 350 = 2 X 5 2 X 7
b) La décomposition en produit de facteurs premiers d ' un carré ne doit comporter
que des exposants pairs. Cela deviendra le cas si on multiplie 350 par 2 x 7. La
décomposition sera alors 2
2 x 5
2 x 7
2 = (2 x 5 x 7)
2 = 70
2 .
llQJ a) 22 869 = 3
3 X 7 X 11
2
b) 11 faut multiplier par 3 x 7 pour obtenir 3
4 x 7
2 x 11
2 = (3
2 x 7 x 11)
2 qui est le
carré de 693.
llQI a) a = 2
5 x 3
b)a=3
2 x7x17
b = 2
3 X 7 X 13
b = 2 3 X 5 2 X 11
PGCD(a;b) = 2
3 = 8
PGCD(a;b) = 1 ce qui prouve que 1 071 et 2 200 sont premiers entre eux.
18191 a)a=315 = 3 2 X 5 X 7
b = 1176 = 2 3 X 3 X 7 2
PGCD(a;b) = 3 x 7 = 21
b) a = 4 840 = 2 3 X 5 X 11 2
PGCD(a;b) = 2
2 x 11
2 = 484
b = 4 356 = 2
2 X 3
2 X 11
2
IWfd a) Cette méthode est l'algorithme d'Euclide. On va effectuer des divisions
euclidiennes jusqu'à obtenir un reste nul. Le PGCD sera alors le dernier diviseur
testé.
130=85x1+45 85=45 x 1+35 45=35x1+10
35 = 10 x 3+5
10 = 5 x 2+0
Le reste est 0, le dernier diviseur testé est 5 donc PGCD(130;85) = 5.
b) 4 114 = 1 530 X 2 + 1 054
1530=1054x1+476 1054=476 x 2+102 476=102x4+68
102 = 68 X 1 + 34
68 = 34x 2+0
Le reste est 0, le dernier diviseur testé est 34 donc PGCD(4 114;1 530) = 34.
llft~ a) PGCD(882;540) = 18
b) PGCD(l 725;1 309) = 1
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