"'O
0
c
:J
0
:<:;
li)
.,,
..--t
c::
:l
0
~
N
"
@
~
.......
0
J::
:;
O'l
"'
·;::::
c::
0
>c::
o.
c::
0
.9
u
ü
:l
.,,
2
o.
~
"
:;
0
11
.,,
0
c:
:l
0
QJ
Exercices corrigés
b) a est divisible par b donc il existe un entier naturel k tel que a= kb. b est divisible
par c donc il existe un entier naturel k' tel que b = ck'. Alors a = kb = ck'k ce qui
prouve que a est divisible par c puisque kk' est un entier.
c) a est divisible parc donc il existe un entier naturel k tel que a = ck. b est divisible
par c donc il existe un entier naturel k' tel que b = ck'. Alors a + b = ck + ck'
= c(k + k') ce qui prouve que a + b est divisible par c puisque k + k' est un entier.
La démonstration pour a-b est calquée sur celle de a+ b ...
lfjl Jl07~10,3. 107 n'est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5, ni par 7 (qui sont
les nombres premiers inférieurs ou égaux à Jl07 ) donc 107 est premier.
161 n'est pas premier car il est divisible par 7.
179 est premier, il faut tester jusqu'à 13 .
241 est premier, il faut tester jusqu' à 13.
311 est premier, on teste jusqu'à 17.
323 n'est pas premier, il est divisible par 17.
437 n'est pas premier, il est divisible par 19.
563 est premier, on teste jusqu'à 23.
677 est premier, on teste jusqu'à 23.
779 n'est pas premier, il est divisible par 19.
971 est premier, on teste jusqu'à 31.
lf/11 a) En faisant varier n de 0 à 15, on obtient les nombres 17, 19, 23, 29, 37, 47,
59, 73, 89, 107, 127, 149, 173, 199, 227 et 257 qui sont tous premiers (les vérifications sont faciles).
b) A 16 = 16
2 + 16 + 17 = 16( 16+ 1) + 17 = 16 x 17 + 17 = 17 ( 16 + 1) = 17
2 donc A 16
n'est pas premier.
lfJJ a) An est premier quand n = 3. Il n'est pas premier quand n vaut 4, 5, 6 ou 7.
b) An= (n + 2)(n - 2). An apparaît comme un produit de deux facteurs donc il n'est
jamais premier sauf si un des deux facteurs vaut 1. C' est le cas lorsque n - 2 = 1
c'est-à-dire pour n = 3.
Finalement, An est premier seulement lorsque n = 3.
If.JI a) Sin est pair, on peut poser n = 2m, avec m entier naturel.
Alors, An = (2m)
3 + 8 = 8m
3 + 8 = 8(m
3 + 1) qui est divisible par 8 .
b) (n + 2)(n
2 - 2n + 4) = n 3 - 2n
2 + 4n + 2n
2 - 4n + 8 = n 3 + 8
27
0
c
:J
0
:<:;
li)
.,,
..--t
c::
:l
0
~
N
"
@
~
.......
0
J::
:;
O'l
"'
·;::::
c::
0
>c::
o.
c::
0
.9
u
ü
:l
.,,
2
o.
~
"
:;
0
11
.,,
0
c:
:l
0
QJ
Exercices corrigés
b) a est divisible par b donc il existe un entier naturel k tel que a= kb. b est divisible
par c donc il existe un entier naturel k' tel que b = ck'. Alors a = kb = ck'k ce qui
prouve que a est divisible par c puisque kk' est un entier.
c) a est divisible parc donc il existe un entier naturel k tel que a = ck. b est divisible
par c donc il existe un entier naturel k' tel que b = ck'. Alors a + b = ck + ck'
= c(k + k') ce qui prouve que a + b est divisible par c puisque k + k' est un entier.
La démonstration pour a-b est calquée sur celle de a+ b ...
lfjl Jl07~10,3. 107 n'est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5, ni par 7 (qui sont
les nombres premiers inférieurs ou égaux à Jl07 ) donc 107 est premier.
161 n'est pas premier car il est divisible par 7.
179 est premier, il faut tester jusqu'à 13 .
241 est premier, il faut tester jusqu' à 13.
311 est premier, on teste jusqu'à 17.
323 n'est pas premier, il est divisible par 17.
437 n'est pas premier, il est divisible par 19.
563 est premier, on teste jusqu'à 23.
677 est premier, on teste jusqu'à 23.
779 n'est pas premier, il est divisible par 19.
971 est premier, on teste jusqu'à 31.
lf/11 a) En faisant varier n de 0 à 15, on obtient les nombres 17, 19, 23, 29, 37, 47,
59, 73, 89, 107, 127, 149, 173, 199, 227 et 257 qui sont tous premiers (les vérifications sont faciles).
b) A 16 = 16
2 + 16 + 17 = 16( 16+ 1) + 17 = 16 x 17 + 17 = 17 ( 16 + 1) = 17
2 donc A 16
n'est pas premier.
lfJJ a) An est premier quand n = 3. Il n'est pas premier quand n vaut 4, 5, 6 ou 7.
b) An= (n + 2)(n - 2). An apparaît comme un produit de deux facteurs donc il n'est
jamais premier sauf si un des deux facteurs vaut 1. C' est le cas lorsque n - 2 = 1
c'est-à-dire pour n = 3.
Finalement, An est premier seulement lorsque n = 3.
If.JI a) Sin est pair, on peut poser n = 2m, avec m entier naturel.
Alors, An = (2m)
3 + 8 = 8m
3 + 8 = 8(m
3 + 1) qui est divisible par 8 .
b) (n + 2)(n
2 - 2n + 4) = n 3 - 2n
2 + 4n + 2n
2 - 4n + 8 = n 3 + 8
27