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Chapitre l • Arithmétique
26
b) 50 000 = 26 X 1 923 + 2. On a donc écrit 1 923 alphabets complets et la 50 oooe
lettre est la lettre de rang 2, c' est-à-dire un B.
llJ1 Si on appelle q le nombre de piles de 10, alors n = lOq + 7. Si e11e fait des piles
de 7, elle aura q + 13 piles donc n = 7(q + 13) + 3 = 7q + 94.
Donc lOq + 7 = 7q + 94 d ' où 3q = 87 et q = 29.
Alice possède donc n = 10 x 29 + 7 = 297 CD.
llld Notons b le nombre de lignes par page, q le nombre de pages et r le nombre
de lignes de la dernière page. On a 1 'égalité 5 070 = bq + r.
a) Dans ce cas, b = 64, et la division euclidienne de 5 070 par 64 donne q = 79 et
r = 14. La dernière page aura donc 14 lignes.
b) Dans ce cas, q = 81 et r = 48 donc b = (5 070 - 48):81 = 62. Chaque page aura
donc 62 lignes.
llf~ Les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12, ceux de 20 sont 1, 2, 4, 5, 10 et 20
et ceux de 30 sont 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 et 30.
lll:J
13 -----------65
18
Figure 1.4
llpJ a) Trois entiers naturels consécutifs peuvent s'écrire n, n + 1 et n + 2. Leur
somme vaut 3n + 6 = 3 (n + 2) et c'est un multiple de 3 puisque n + 2 est un entier
naturel.
b) C'est faux, il suffit de prendre un contre exemple: 1 + 2 + 3 + 4 = 10 et 10 n'est
pas multiple de 4.
c) Oui. En effet, cinq entiers naturels consécutifs sont n, n + 1, n + 2, n + 3 et n + 4
dont la somme est Sn+ 10 = S(n + 2) qui est un multiple de 5 car n + 2 est un entier
naturel.
lf;, .{IJ On rappelle d' abord la définition : «a est divisible par b s'il existe un entier
naturel k tel que a = kb » .
a) a est divisible par b donc il existe un entier naturel k tel que a= bk. Un multiple de
a s'écrit na avec n entier naturel. Donc na= nbk = b(nk) ce qui prouve que na est
divisible par b puisque nk est un entier.
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b) 50 000 = 26 X 1 923 + 2. On a donc écrit 1 923 alphabets complets et la 50 oooe
lettre est la lettre de rang 2, c' est-à-dire un B.
llJ1 Si on appelle q le nombre de piles de 10, alors n = lOq + 7. Si e11e fait des piles
de 7, elle aura q + 13 piles donc n = 7(q + 13) + 3 = 7q + 94.
Donc lOq + 7 = 7q + 94 d ' où 3q = 87 et q = 29.
Alice possède donc n = 10 x 29 + 7 = 297 CD.
llld Notons b le nombre de lignes par page, q le nombre de pages et r le nombre
de lignes de la dernière page. On a 1 'égalité 5 070 = bq + r.
a) Dans ce cas, b = 64, et la division euclidienne de 5 070 par 64 donne q = 79 et
r = 14. La dernière page aura donc 14 lignes.
b) Dans ce cas, q = 81 et r = 48 donc b = (5 070 - 48):81 = 62. Chaque page aura
donc 62 lignes.
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llpJ a) Trois entiers naturels consécutifs peuvent s'écrire n, n + 1 et n + 2. Leur
somme vaut 3n + 6 = 3 (n + 2) et c'est un multiple de 3 puisque n + 2 est un entier
naturel.
b) C'est faux, il suffit de prendre un contre exemple: 1 + 2 + 3 + 4 = 10 et 10 n'est
pas multiple de 4.
c) Oui. En effet, cinq entiers naturels consécutifs sont n, n + 1, n + 2, n + 3 et n + 4
dont la somme est Sn+ 10 = S(n + 2) qui est un multiple de 5 car n + 2 est un entier
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lf;, .{IJ On rappelle d' abord la définition : «a est divisible par b s'il existe un entier
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a) a est divisible par b donc il existe un entier naturel k tel que a= bk. Un multiple de
a s'écrit na avec n entier naturel. Donc na= nbk = b(nk) ce qui prouve que na est
divisible par b puisque nk est un entier.