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Chapitre l • Arithmétique
22
b) Montrer que 1789=4[7]. Compléter la congruence suivante: 1 789 3 = ...... [7].
c) Montrer que 1 789
1789 = (1 789
3
)
596 x 1 789.
d) En déduire que 1 789
1789 = 4[7]. Exprimer ce résultat avec une phrase concernant
un reste de division euclidienne.
11191 Soit a, b, cd, n, p des entiers naturels tels que a = b [ n] et c = d [ n]. Démontrer les propriétés suivantes :
a) a+ c = b + d [ n]
b) pa = ph [ n]
c) ac= bd [ n]
llkij Soit E = { 1 ;2;3;4;5;6} .
a) Vérifier que pour chaque élément a de E, il existe un élément b de Etel que ab= 1 [7].
On dit que b est l'inverse de a modulo 7 .
b) Résoudre l'équation 3x = 4[7]. Donner l'ensemble des solutions comprises entre
100 et 140.
llf4 Soit E l'ensemble des entiers naturels non nuls inférieurs ou égaux à 10.
a) Déterminer l'inverse modulo 11 de tous les éléments de E.
b) Résoudre l'équation 4x + 7 = 8[11].
llf:J Pour des questions de saisie, les billets en euros sont tous numérotés. Le
numéro est constitué d ' une lettre suivie de 11 chiffres.
On commence par remplacer la lettre par son rang dans l'alphabet (A = 1, B = 2,
C = 3, D = 4, ... , Z = 26) puis on additionne ce nombre avec les 11 autres chiffres
du billet. Le reste de la division par 9 de ce résultat doit être 8 (sinon, le billet est
faux ... ).
Par exemple, vérifions un billet numéroté z10708476264. On remplace la lettre z par
26 et on additionne 26 + 1 + 0 + 7 + 0 + 8 + 4 + 7 + 6 + 2 + 6 + 4 = 71. Le reste de
la division de 71 par 9 est bien 8.
a) Des billets numérotés v02387040334 et m12065974438 sont-ils des vrais ?
b) Sur un billet authentique figure le numéro s021664481ctl mais le dernier chiffre
est illisible. Quel est ce chiffre ?
c) Sur un autre billet authentique, la lettre est illisible 116122340242. Quelles sont
les lettres possibles ?
d) Ce moyen de contrôle n'est pas très poussé. En effet, pour un billet, un opérateur
peut faire une faute de saisie sur un chiffre sans que celle-ci ne soit détectée ! Donner
un exemple d'erreur de saisie non détectée sur un billet numéroté x30564853796.
llQ1 Le code-barres rencontré au supermarché est le code EAN-13 formé de
13 chiffres. Le dernier chiffre est une clé de contrôle calculée à partir des 12 autres.
Pour calculer cette clé de contrôle :
• On multiplie par 3 chaque chiffre de rang pair, on ajoute tous les résultats et on
ajoute tous les chiffres de rang impair.
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b) Montrer que 1789=4[7]. Compléter la congruence suivante: 1 789 3 = ...... [7].
c) Montrer que 1 789
1789 = (1 789
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d) En déduire que 1 789
1789 = 4[7]. Exprimer ce résultat avec une phrase concernant
un reste de division euclidienne.
11191 Soit a, b, cd, n, p des entiers naturels tels que a = b [ n] et c = d [ n]. Démontrer les propriétés suivantes :
a) a+ c = b + d [ n]
b) pa = ph [ n]
c) ac= bd [ n]
llkij Soit E = { 1 ;2;3;4;5;6} .
a) Vérifier que pour chaque élément a de E, il existe un élément b de Etel que ab= 1 [7].
On dit que b est l'inverse de a modulo 7 .
b) Résoudre l'équation 3x = 4[7]. Donner l'ensemble des solutions comprises entre
100 et 140.
llf4 Soit E l'ensemble des entiers naturels non nuls inférieurs ou égaux à 10.
a) Déterminer l'inverse modulo 11 de tous les éléments de E.
b) Résoudre l'équation 4x + 7 = 8[11].
llf:J Pour des questions de saisie, les billets en euros sont tous numérotés. Le
numéro est constitué d ' une lettre suivie de 11 chiffres.
On commence par remplacer la lettre par son rang dans l'alphabet (A = 1, B = 2,
C = 3, D = 4, ... , Z = 26) puis on additionne ce nombre avec les 11 autres chiffres
du billet. Le reste de la division par 9 de ce résultat doit être 8 (sinon, le billet est
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Par exemple, vérifions un billet numéroté z10708476264. On remplace la lettre z par
26 et on additionne 26 + 1 + 0 + 7 + 0 + 8 + 4 + 7 + 6 + 2 + 6 + 4 = 71. Le reste de
la division de 71 par 9 est bien 8.
a) Des billets numérotés v02387040334 et m12065974438 sont-ils des vrais ?
b) Sur un billet authentique figure le numéro s021664481ctl mais le dernier chiffre
est illisible. Quel est ce chiffre ?
c) Sur un autre billet authentique, la lettre est illisible 116122340242. Quelles sont
les lettres possibles ?
d) Ce moyen de contrôle n'est pas très poussé. En effet, pour un billet, un opérateur
peut faire une faute de saisie sur un chiffre sans que celle-ci ne soit détectée ! Donner
un exemple d'erreur de saisie non détectée sur un billet numéroté x30564853796.
llQ1 Le code-barres rencontré au supermarché est le code EAN-13 formé de
13 chiffres. Le dernier chiffre est une clé de contrôle calculée à partir des 12 autres.
Pour calculer cette clé de contrôle :
• On multiplie par 3 chaque chiffre de rang pair, on ajoute tous les résultats et on
ajoute tous les chiffres de rang impair.