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Mathématiques pour l'informatique
284
11911 Dans ru, X R y Ç::} X= y[5].
119f "I Soit E un ensemble non vide et A un sous-ensemble non vide de E.
Dans P(E), X R Y Ç::} (A n X) = (A n Y).
119il Soit E un ensemble non vide. Dans P(E), A RB Ç::> A u B = E .
11911 On se place dans E = ~
2
, ensemble de tous les couples de réels. Si on note
x = (x 1 ,x 2 ) et y= (y 1 ,y 2 ), alors x R y Ç::> (x 1 < y 1 ) ou (x 1 = y 1 ) /\. (x 2 $ y 2 ).
a) Soit x = (4;8,5) et y= (2,1;10). Est-ce que x R y ou y R x?
b) Montrer que R est une relation d'ordre. Est-ce un ordre total ou partiel?
119i1 Soitfla relation de ru dans ru telle que fin)= n/2 sin est pair, etfin) = (n + 1)/2
si n est impair.
a) Montrer que f est une application.
b) f est-elle injective ? Surjective ? Bijective ?
1191d Soitf l'application de [0;+ 00 [ dans ru telle que, pour tout XE [0;+ 00 [,f(x) est
la partie entière de x, c'est-à-dire le plus grand entier naturel inférieur ou égal à x.
a) f est-elle injective ? Surjective ?
b) Quelle est l'image directe de [3,2;5,7[ parf?
c) Quelle est l'image réciproque de {2;3} parf?
119fl Soitfl'application de [O;+oo[ dans ru qui, à tout x E [O;+oo[ associe sa partie
entière (voir exercice 5.56).
a) Soit A= [2,5;4,3]. Déterminer r
1 [f(A)]. Est-ce que r
1 [f(A)] =A ?
b) Soit B = { 5;7}. Déterminer f1
[f{B)]. Est-ce que f- 1 [f(B)] = B?
1191:J Soitfl'application de~ dans~' définie par f(x) = x
2 .
On considère les intervalles A= [0;3] et A'= [1;5]
a) Est-ce quef(A nA') =fiA) nf(A')?
b) Est-ce quef(A u A')= f(A) u f(A')?
c)Est-ceque f(A) = f(A)?
1191#1 Soitfl'application de~ dans~' définie parf(x) = x
2 . On considère les intervalles B = [0;4] et B' = [1;9].
a) Est-ce quef1
(B n B') = 11
(B) nf1
(B')?
b) Est-ce que f -
1
(B u B') = f' -
1
(B) u f' -
1
(B') ?
c) Est-ce que f -
1
( B) = f -
1 (B) ?
IJF!I] Soitf et g les applications de~ dans~ définies par fix) = lüx et g(x) = 3x + 5.
a) Montrer que f et g sont des bijections.
b) Définir les applications g o f etf o g. Sont-elles bijectives?
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Mathématiques pour l'informatique
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11911 Dans ru, X R y Ç::} X= y[5].
119f "I Soit E un ensemble non vide et A un sous-ensemble non vide de E.
Dans P(E), X R Y Ç::} (A n X) = (A n Y).
119il Soit E un ensemble non vide. Dans P(E), A RB Ç::> A u B = E .
11911 On se place dans E = ~
2
, ensemble de tous les couples de réels. Si on note
x = (x 1 ,x 2 ) et y= (y 1 ,y 2 ), alors x R y Ç::> (x 1 < y 1 ) ou (x 1 = y 1 ) /\. (x 2 $ y 2 ).
a) Soit x = (4;8,5) et y= (2,1;10). Est-ce que x R y ou y R x?
b) Montrer que R est une relation d'ordre. Est-ce un ordre total ou partiel?
119i1 Soitfla relation de ru dans ru telle que fin)= n/2 sin est pair, etfin) = (n + 1)/2
si n est impair.
a) Montrer que f est une application.
b) f est-elle injective ? Surjective ? Bijective ?
1191d Soitf l'application de [0;+ 00 [ dans ru telle que, pour tout XE [0;+ 00 [,f(x) est
la partie entière de x, c'est-à-dire le plus grand entier naturel inférieur ou égal à x.
a) f est-elle injective ? Surjective ?
b) Quelle est l'image directe de [3,2;5,7[ parf?
c) Quelle est l'image réciproque de {2;3} parf?
119fl Soitfl'application de [O;+oo[ dans ru qui, à tout x E [O;+oo[ associe sa partie
entière (voir exercice 5.56).
a) Soit A= [2,5;4,3]. Déterminer r
1 [f(A)]. Est-ce que r
1 [f(A)] =A ?
b) Soit B = { 5;7}. Déterminer f1
[f{B)]. Est-ce que f- 1 [f(B)] = B?
1191:J Soitfl'application de~ dans~' définie par f(x) = x
2 .
On considère les intervalles A= [0;3] et A'= [1;5]
a) Est-ce quef(A nA') =fiA) nf(A')?
b) Est-ce quef(A u A')= f(A) u f(A')?
c)Est-ceque f(A) = f(A)?
1191#1 Soitfl'application de~ dans~' définie parf(x) = x
2 . On considère les intervalles B = [0;4] et B' = [1;9].
a) Est-ce quef1
(B n B') = 11
(B) nf1
(B')?
b) Est-ce que f -
1
(B u B') = f' -
1
(B) u f' -
1
(B') ?
c) Est-ce que f -
1
( B) = f -
1 (B) ?
IJF!I] Soitf et g les applications de~ dans~ définies par fix) = lüx et g(x) = 3x + 5.
a) Montrer que f et g sont des bijections.
b) Définir les applications g o f etf o g. Sont-elles bijectives?