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Exercices supplémentaires
a) 1) Déterminer A Li B si E = { 1 ;2;3;4;5;6;7;8;9}, A = { 1 ;2;5;6;7}, B = {2;4;6;8}.
2) On note A et B les complémentaires de A et de B dans E. Déterminer A Li B .
Que peut-on remarquer?
b) À l'aide d'une _!_able de vérité, montrer que, quels que soient les ensembles A et B,
on a ALiB = ALiB.
1"111 A et B sont deux parties d' un ensemble E. A Li B désigne la différence symétrique de A et de B (voir définition dans l' exercice 5.43).
a) Déterminer A Li E, A Li 0, A Li A .
b) Montrer que A= B ~A Li B = 0.
1"1191 A et B sont deux parties d'un ensemble E.
a) À l'aide de tables de vérité, montrer les formules suivantes :
-
-
A n (A u B) =A n B et A u (A n B) =A u B.
b) Redémontrer les formules précédentes à l'aide des propriétés de distributivité de
l' intersection et de la réunion.
l"lld A et B étant deux ensembles, on définit l'ensemble A \ B, appelé différence de
A et de B, comme étant l'ensemble des éléments de A qui ne sont pas dans B. Autrement dit, A\ B = {x E A, x ~ B }.
a) Soit A = [0;3], B = [l ;4], C = [2;5]. Déterminer les ensembles (A n B) \ C,
A n (B \ C) et (A\ C) n (B \ C).
b) A, B et C étant trois ensembles quelconques, montrer à l' aide de tables de vérité
que : (A n B) \ C = A n ( B \ C) = (A \ C) n ( B \ C).
l"lf~ A et B étant deux ensembles, A \ B désigne la différence de A et de B, définie
à l'exercice 5.46. Montrer que, quels que soient les ensembles A, B et C, on a
A\ (B n C) = (A\ B) u (A\ C).
l"lf:J Soit E l'ensemble des multiples de 3 compris entre 50 et 100, et F l'ensemble
des multiples de 4 compris entre 50 et 150. Dans le plan, on considère l'ensemble A
des points de coordonnées (x;y) tels que x appartient à E et y appartient à F.
a) Déterminer le cardinal de E, puis le cardinal de F.
b) En déduire le nombre de points constituant l'ensemble A.
Pour chacun des exercices de 5.49 à 5.53 étudier si la relation Rest réflexive,
symétrique, antisymétrique, transitive. Éventuellement, dire si c'est une relation
d'équivalence ou d'ordre (total ou partiel).
l"IP1 Dans IR{, X n y~ lx - yl ~ 1.
11911] Dans ru, X n y~ X + y est multiple de 3.
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Exercices supplémentaires
a) 1) Déterminer A Li B si E = { 1 ;2;3;4;5;6;7;8;9}, A = { 1 ;2;5;6;7}, B = {2;4;6;8}.
2) On note A et B les complémentaires de A et de B dans E. Déterminer A Li B .
Que peut-on remarquer?
b) À l'aide d'une _!_able de vérité, montrer que, quels que soient les ensembles A et B,
on a ALiB = ALiB.
1"111 A et B sont deux parties d' un ensemble E. A Li B désigne la différence symétrique de A et de B (voir définition dans l' exercice 5.43).
a) Déterminer A Li E, A Li 0, A Li A .
b) Montrer que A= B ~A Li B = 0.
1"1191 A et B sont deux parties d'un ensemble E.
a) À l'aide de tables de vérité, montrer les formules suivantes :
-
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A n (A u B) =A n B et A u (A n B) =A u B.
b) Redémontrer les formules précédentes à l'aide des propriétés de distributivité de
l' intersection et de la réunion.
l"lld A et B étant deux ensembles, on définit l'ensemble A \ B, appelé différence de
A et de B, comme étant l'ensemble des éléments de A qui ne sont pas dans B. Autrement dit, A\ B = {x E A, x ~ B }.
a) Soit A = [0;3], B = [l ;4], C = [2;5]. Déterminer les ensembles (A n B) \ C,
A n (B \ C) et (A\ C) n (B \ C).
b) A, B et C étant trois ensembles quelconques, montrer à l' aide de tables de vérité
que : (A n B) \ C = A n ( B \ C) = (A \ C) n ( B \ C).
l"lf~ A et B étant deux ensembles, A \ B désigne la différence de A et de B, définie
à l'exercice 5.46. Montrer que, quels que soient les ensembles A, B et C, on a
A\ (B n C) = (A\ B) u (A\ C).
l"lf:J Soit E l'ensemble des multiples de 3 compris entre 50 et 100, et F l'ensemble
des multiples de 4 compris entre 50 et 150. Dans le plan, on considère l'ensemble A
des points de coordonnées (x;y) tels que x appartient à E et y appartient à F.
a) Déterminer le cardinal de E, puis le cardinal de F.
b) En déduire le nombre de points constituant l'ensemble A.
Pour chacun des exercices de 5.49 à 5.53 étudier si la relation Rest réflexive,
symétrique, antisymétrique, transitive. Éventuellement, dire si c'est une relation
d'équivalence ou d'ordre (total ou partiel).
l"IP1 Dans IR{, X n y~ lx - yl ~ 1.
11911] Dans ru, X n y~ X + y est multiple de 3.
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