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Mathématiques pour l'informatique
270
2) a) Montrer que les suites (un) et (vn) sont géométriques et déterminer leurs raisons.
b) En déduire l'expression de un en fonction den et celle de vn en fonction den.
c) Quels sont les chiffres d ' affaires prévisibles de ces entreprises en 2020 ? (arrondir
à l'euro près)
3) Pour tout entier naturel n, on pose wn = un/ vn.
a) Vérifier que w 0 < 1.
b) Déterminer le plus petit entier naturel n tel que w n > 1.
c) À partir de quelle année le chiffre d ' affaires de Siol dépassera-t-il celui de Sio2?
f4jJ Soit (un) la suite définie par u 0 = 3 et pour tout entier naturel n par
un+ 1 = 0 ,5un - 2.
1) a) Déterminer u 1 et u 2 .
b) Montrer que (un) n' est ni arithmétique, ni géométrique.
c) À partir d'une table de valeur éditée sur une calculatrice graphique, émettre une
conjecture sur la limite de la suite (un) .
2) Soit (vn) la suite définie pour tout entier naturel n par vn =un+ 4.
a) Calculer les trois premiers termes de la suite (vn).
b) Montrer que ( v n) est une suite géométrique de raison 0,5.
c) Exprimer vn en fonction den. En déduire l'expression de un en fonction den.
d) Déterminer lim u,
1
•
11 - H =
f4jl Un ordinateur est infecté par un virus. Le nombre un de fichiers infectés après
n allumages vérifie u 1 = 1 et un+l = 3un + 1.
1) a) Quel est le nombre de fichiers infectés après trois allumages ?
b) Écrire un premier algorithme donnant le nombre de fichiers infectés après 20 allumages. Implémenter cet algorithme sur calculatrice ou en Python.
c) Écrire un second algorithme déterminant à partir de combien d' allumages le
nombre de fichiers infectés dépassera 50 000. Implémenter cet algorithme sur calculatrice ou en Python .
2) Pour tout entier naturel n ~ 1, on pose vn =un+ 0,5.
a) Calculer v 1 , v 2 et v 3 . Quelle conjecture peut-on émettre sur la nature de la suite (vn) ?
b) Montrer que pour tout entier n ~ 1, on a vn+ I = 3vw
c) En déduire l'expression de vn puis de un en fonction den.
d) Retrouver à l'aide de l'expression de un le résultat de la question le).
f411 La loi de Moore affirme que depuis 1975, le nombre de transistors par microprocesseur proposés à la vente au grand public, double tous dix-huit mois. En 1975,
un tel microprocesseur comportait 9 000 transistors.
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2) a) Montrer que les suites (un) et (vn) sont géométriques et déterminer leurs raisons.
b) En déduire l'expression de un en fonction den et celle de vn en fonction den.
c) Quels sont les chiffres d ' affaires prévisibles de ces entreprises en 2020 ? (arrondir
à l'euro près)
3) Pour tout entier naturel n, on pose wn = un/ vn.
a) Vérifier que w 0 < 1.
b) Déterminer le plus petit entier naturel n tel que w n > 1.
c) À partir de quelle année le chiffre d ' affaires de Siol dépassera-t-il celui de Sio2?
f4jJ Soit (un) la suite définie par u 0 = 3 et pour tout entier naturel n par
un+ 1 = 0 ,5un - 2.
1) a) Déterminer u 1 et u 2 .
b) Montrer que (un) n' est ni arithmétique, ni géométrique.
c) À partir d'une table de valeur éditée sur une calculatrice graphique, émettre une
conjecture sur la limite de la suite (un) .
2) Soit (vn) la suite définie pour tout entier naturel n par vn =un+ 4.
a) Calculer les trois premiers termes de la suite (vn).
b) Montrer que ( v n) est une suite géométrique de raison 0,5.
c) Exprimer vn en fonction den. En déduire l'expression de un en fonction den.
d) Déterminer lim u,
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f4jl Un ordinateur est infecté par un virus. Le nombre un de fichiers infectés après
n allumages vérifie u 1 = 1 et un+l = 3un + 1.
1) a) Quel est le nombre de fichiers infectés après trois allumages ?
b) Écrire un premier algorithme donnant le nombre de fichiers infectés après 20 allumages. Implémenter cet algorithme sur calculatrice ou en Python.
c) Écrire un second algorithme déterminant à partir de combien d' allumages le
nombre de fichiers infectés dépassera 50 000. Implémenter cet algorithme sur calculatrice ou en Python .
2) Pour tout entier naturel n ~ 1, on pose vn =un+ 0,5.
a) Calculer v 1 , v 2 et v 3 . Quelle conjecture peut-on émettre sur la nature de la suite (vn) ?
b) Montrer que pour tout entier n ~ 1, on a vn+ I = 3vw
c) En déduire l'expression de vn puis de un en fonction den.
d) Retrouver à l'aide de l'expression de un le résultat de la question le).
f411 La loi de Moore affirme que depuis 1975, le nombre de transistors par microprocesseur proposés à la vente au grand public, double tous dix-huit mois. En 1975,
un tel microprocesseur comportait 9 000 transistors.