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Mathématiques pour l'informatique
264
ll:lt] En utilisant la règle PGCD(a;b) = PGCD(b;r) où r est le reste de la division
euclidienne de a par b, déterminer le PGCD des nombres a et b dans les cas suivants:
a) a= 300 et b = 228
b) a= 4 774 et b = 2 618
11:11 En utilisant l'algorithme d ' Euclide, chercher PGCD(a ;b) dans les cas
suivants: a) a= 1 120 et b = 294
b) a= 3 300 et b = 792
ll:f;,J Vrai ou Faux ?
93 = 5[8]
1 000 = 100[11]
78 = 4[12]
14 = 104[9]
101 = 76[5]
48 = 132[7]
115 = 63[26]
204 = 88[15]
ll:JJ Compléter les congruences avec un entier naturel, le plus petit possible :
108 = ..... . [5]
141 = ...... [9]
200 = ...... [13]
112 = ...... [4]
11:§1 a et b sont deux entiers naturels tels que a= 4[9] et b = 7[9] et
s = {0;1;2;3;4;5;6;7;8}.
1) Compléter les congruences suivantes, en mettant un nombre de l'ensemble S:
a+ b = ...... [9]
a X b := ..... . [9]
Sa+ 3b = ...... [9]
a
2
= ...... [9]
b
3
= ...... [9]
a
2
b
3
= ...... [9]
2) Donner un nombre a et un nombre b, supérieurs à 50, tels que a= 4[9] et b = 7[9].
11:191 Soit x un entier naturel tel que x = 4[7].
a) Compléter les congruences suivantes en mettant un nombre de l'ensemble
s = {0;1;2;3;4;5 ;6} .
x
2
= ....... [7] x
3
= ....... [7]
x
4
= ....... [7]
x5 = ....... [7]
x
6
= ....... [7]
b) Expliquer pourquoi 3 000 = 4[7].
c) Montrer que 3 000
1515 = (3 000
6
)
252 x 3 000
3 .
d) En utilisant les résultats de la question a, déterminer le reste de la division euclidienne de 3000
1515 par 7.
Il:© On considère l'équation 2x = 9[21].
a) Déterminer un nombre entier a tel que 2 x a = 1 [21] .
b) Résoudre l'équation.
c) Citer toutes les solutions de l'équation qui sont comprises entre 1 OO et 200.
ll:fi On considère 1 'équation Sx + 6 = 0[26].
a) Vérifier que 5 x 21=1[26].
b) Résoudre l'équation.
c) Citer toutes les solutions de l'équation qui sont comprises entre 200 et 300.