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0
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Chapitre l • Arithmétique
18
a) Tester si An est premier pour n valant 3, 4, 5, 6 puis 7.
b) Montrer que, à part pour n = 3, An n'estjamais premier.
If.JI On se propose de chercher s'il existe des nombres premiers de la forme
n 3 + 8, pour n entier naturel, et d'en faire la liste. On note An le nombre n 3 + 8.
a) Montrer que si n est pair, alors An n'est pas premier car il est divisible par 8.
b) Développer (n + 2)(n 2 - 2n + 4). En déduire que An n'est jamais premier.
lf.J1 Sur un ordinateur 16 bits, un entier N est représenté de la manière suivante :
le premier bit à gauche donne le signe (0 correspond à+ et 1 à - ), et lorsque l'entier
est positif, les 15 suivants sont les chiffres de l'écriture binaire de N. Par exemple :
0000000000011101 représente +(l llOlh, c'est-à-dire +29.
1) a) Que devrait logiquement représenter le nombre 1000000000011101 ?
b) À quoi devrait être égal 0000000000011101 + 1000000000011101 ? Est-ce le cas?
À cause du problème précédent on opère différemment pour coder les entiers négatifs : le premier bit représente bien - s'il est égal à 1. Cependant, la somme d'un
nombre Net de son opposé - N devra toujours être nulle. Pour cela on adopte la
méthode dite des compléments.
Par exemple, pour - 29, on part de la représentation de 29, c'est-à-dire
0000000000011101 et on détermine les 16 bits XXXXXXXXXXXXXXXX tels que :
00000000000 l l l 0 l + xxxxxxxxxxxxxxxx = 0000000000000000
Il s'agit alors de changer les 0 par des l et les l par des 0 dans la représentation de 29,
puis d'ajouter l : cela donne 111111111110001O+1 donc 1111111111100011.
La représentation de 29+(- 29) donne alors 10000000000000000, donc
0000000000000000 (par dépassement des capacités de l'ordinateur).
2) Déterminer la représentation de l'entier - 123 dans un ordinateur 16 bits, puis
celle de l'entier -43.
lf...IJH On crée un jeu simple sur un ordinateur : une bille est installée au « départ »
de la grille suivante (figure 1.2 à gauche), on doit la faire parvenir à « l' arrivée » en
utilisant uniquement des déplacements vers la droite et vers le bas.
!Départi _ _ _ _ _ _
·11111111
11111111
11111111
Seuls sens possibles :
11111111* ..... IAr ..... riv....,.é....,e 1
Figure 1.2
1
-
==
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a) Tester si An est premier pour n valant 3, 4, 5, 6 puis 7.
b) Montrer que, à part pour n = 3, An n'estjamais premier.
If.JI On se propose de chercher s'il existe des nombres premiers de la forme
n 3 + 8, pour n entier naturel, et d'en faire la liste. On note An le nombre n 3 + 8.
a) Montrer que si n est pair, alors An n'est pas premier car il est divisible par 8.
b) Développer (n + 2)(n 2 - 2n + 4). En déduire que An n'est jamais premier.
lf.J1 Sur un ordinateur 16 bits, un entier N est représenté de la manière suivante :
le premier bit à gauche donne le signe (0 correspond à+ et 1 à - ), et lorsque l'entier
est positif, les 15 suivants sont les chiffres de l'écriture binaire de N. Par exemple :
0000000000011101 représente +(l llOlh, c'est-à-dire +29.
1) a) Que devrait logiquement représenter le nombre 1000000000011101 ?
b) À quoi devrait être égal 0000000000011101 + 1000000000011101 ? Est-ce le cas?
À cause du problème précédent on opère différemment pour coder les entiers négatifs : le premier bit représente bien - s'il est égal à 1. Cependant, la somme d'un
nombre Net de son opposé - N devra toujours être nulle. Pour cela on adopte la
méthode dite des compléments.
Par exemple, pour - 29, on part de la représentation de 29, c'est-à-dire
0000000000011101 et on détermine les 16 bits XXXXXXXXXXXXXXXX tels que :
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Il s'agit alors de changer les 0 par des l et les l par des 0 dans la représentation de 29,
puis d'ajouter l : cela donne 111111111110001O+1 donc 1111111111100011.
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2) Déterminer la représentation de l'entier - 123 dans un ordinateur 16 bits, puis
celle de l'entier -43.
lf...IJH On crée un jeu simple sur un ordinateur : une bille est installée au « départ »
de la grille suivante (figure 1.2 à gauche), on doit la faire parvenir à « l' arrivée » en
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Seuls sens possibles :
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