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Sujet métropole 2014
2. Calculer le PGCD des nombres 2014 et 212. On note d ce PGCD. Déterminer
l'entier p tel que 2 014 =px d.
Partie B
Un jury de concours doit établir l'ordre de passage des 2014 candidats qui doivent
passer une épreuve orale. Le président du jury envisage la procédure automatique
décrite ci-après.
Tout d'abord, il classe les 2 014 candidats par ordre alphabétique et attribue à
chacun, en suivant cet ordre, un numéro allant de 1 à 2 014. Ainsi, pour définir un
ordre de passage à l'oral des candidats il suffit de dresser la liste des numéros des
candidats qui seront appelés l'un après l'autre à passer l' épreuve orale.
Pour établir cette liste, le président du jury choisit un entier n compris entre 1 et 400,
puis procède de la manière suivante :
• le premier numéro inscrit sur la liste est le nombre n ;
• le deuxième numéro inscrit sur la liste est le nombre 2n ;
• le troisième numéro inscrit est le nombre 3n ;
• de façon générale, pour obtenir chaque numéro inscrit à partir du deuxième, on
ajoute n au numéro précédent et :
• si la sommes obtenue est inférieure ou égale à 2 014, le numéro inscrit est égal
à cette somme s ;
• sinon, le numéro inscrit est égal à s - 2 014.
Par exemple, en choisissant n = 257, les premiers numéros inscrits sur la liste sont,
dans l'ordre :
257 - 514 - 771 - 1 028 - 1 285 - 1542 - 1 799 - 42 - 299 - 556 - ...
En effet : le premier numéro inscrit est n = 257 ; du 2ème numéro (égal à 514) au
7ème numéro (égal à 1 799), on a ajouté 257 au numéro précédent puisque la somme
ne dépassait par 2 014 ; le 3ème numéro inscrit est le numéro 42 car 1 799 + 257
= 2 056 et, comme 2 056 dépasse 2 014, le numéro à inscrire est 2 056 - 2 014 = 42.
Ainsi le candidat 257 passera en premier l'oral ; il sera suivi du candidat 514 et ainsi
de suite. Le président du jury se demande si cette procédure permet de convoquer
tous les candidats, c'est-à-dire si la liste obtenue, en 2 014 étapes, contient tous les
nombres de 1 à 2 014.
1. Dans cette question, le président du jury choisit n = 212. Les neuf premiers
numéros inscrits sont donc :
212-424 - 636- 848 - 1060 - 1272 - 1484 - 1696 - 1908
a) Donner la liste des 15 numéros suivants. La valeur den= 212 permet-elle de
convoquer tous les candidats ?
b) Avec cette valeur den, combien de numéros différents la liste comporte-t-elle?
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Sujet métropole 2014
2. Calculer le PGCD des nombres 2014 et 212. On note d ce PGCD. Déterminer
l'entier p tel que 2 014 =px d.
Partie B
Un jury de concours doit établir l'ordre de passage des 2014 candidats qui doivent
passer une épreuve orale. Le président du jury envisage la procédure automatique
décrite ci-après.
Tout d'abord, il classe les 2 014 candidats par ordre alphabétique et attribue à
chacun, en suivant cet ordre, un numéro allant de 1 à 2 014. Ainsi, pour définir un
ordre de passage à l'oral des candidats il suffit de dresser la liste des numéros des
candidats qui seront appelés l'un après l'autre à passer l' épreuve orale.
Pour établir cette liste, le président du jury choisit un entier n compris entre 1 et 400,
puis procède de la manière suivante :
• le premier numéro inscrit sur la liste est le nombre n ;
• le deuxième numéro inscrit sur la liste est le nombre 2n ;
• le troisième numéro inscrit est le nombre 3n ;
• de façon générale, pour obtenir chaque numéro inscrit à partir du deuxième, on
ajoute n au numéro précédent et :
• si la sommes obtenue est inférieure ou égale à 2 014, le numéro inscrit est égal
à cette somme s ;
• sinon, le numéro inscrit est égal à s - 2 014.
Par exemple, en choisissant n = 257, les premiers numéros inscrits sur la liste sont,
dans l'ordre :
257 - 514 - 771 - 1 028 - 1 285 - 1542 - 1 799 - 42 - 299 - 556 - ...
En effet : le premier numéro inscrit est n = 257 ; du 2ème numéro (égal à 514) au
7ème numéro (égal à 1 799), on a ajouté 257 au numéro précédent puisque la somme
ne dépassait par 2 014 ; le 3ème numéro inscrit est le numéro 42 car 1 799 + 257
= 2 056 et, comme 2 056 dépasse 2 014, le numéro à inscrire est 2 056 - 2 014 = 42.
Ainsi le candidat 257 passera en premier l'oral ; il sera suivi du candidat 514 et ainsi
de suite. Le président du jury se demande si cette procédure permet de convoquer
tous les candidats, c'est-à-dire si la liste obtenue, en 2 014 étapes, contient tous les
nombres de 1 à 2 014.
1. Dans cette question, le président du jury choisit n = 212. Les neuf premiers
numéros inscrits sont donc :
212-424 - 636- 848 - 1060 - 1272 - 1484 - 1696 - 1908
a) Donner la liste des 15 numéros suivants. La valeur den= 212 permet-elle de
convoquer tous les candidats ?
b) Avec cette valeur den, combien de numéros différents la liste comporte-t-elle?
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