Chapitre l • Arithmétique
Cette notion d'arrondi se généralise aux nombres réels écrits dans n'importe
quelle base p: l'arrondi d'un nombre réel x à une certaine précision est le nombre le
plus proche de x tel que tous les chiffres allant au-delà de cette précision soient nuls.
Par convention, lorsqu' il existe deux nombres possibles, l'arrondi est alors le plus grand.
Considérons les nombres N = (101,10011) 2 et M = (B82A,7 AB) 16 :
• L'arrondi à (10) 2 près de N est (110) 2 car ce nombre est plus proche de N que
(100)2.
• L'arrondi à (0,lh près de N est (101,lh car ce nombre est plus proche de N que
(110,0)2.
• L'arrondi à (100)16 près de M est (B800) 16 car ce nombre est plus proche de M que
(B900) 16 .
• L' arrondi à (0,1) 16 près de M est (B82A,8) 16 car ce nombre est plus proche de M
que (B82A,7) 16 .
1.2 DIVISIBILITÉ DES ENTIERS
Soit a et b des entiers naturels. a est divisible par b s'il existe un entier naturel k tel
que: a= bk.
On dit alors que b divise a, que b est un diviseur de a et que a est un multiple de b.
Exemple
65 = l 3 x 5 donc on peut dire que 65 est divisible par l 3 (et par 5 aussi), que l 3
et 5 sont des diviseurs de 65 et que 65 est un multiple de l 3 (et de 5 aussi).
Propriété 1.3
- Si a est divisible par b alors tout multiple de a est divisible par b.
- Si a est divisible par b et si b est divisible parc, alors a est divisible parc.
- Si a et b sont divisibles parc, alors a+b et a-b sont divisibles parc.
-0
0
c
~
Les démonstrations de ces propriétés seront proposées dans l'exercice corrigé 1.20.
li)
..--t
0
N
1.3 NOMBRES PREMIERS
@
.......
J::
O'l
·;::::
>0.
0
u
8
1.3.1 Reconnaissance des nombres premiers
Un entier naturel est premier s'il a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
• 0 n'est pas premier car il possède une infinité de diviseurs.
• 1 n'est pas premier car il n'a qu'un seul diviseur: 1.
• 2 est premier car il a exactement deux diviseurs : 1 et 2.
• 3 est premier car il a exactement deux diviseurs : 1 et 3.
Cette notion d'arrondi se généralise aux nombres réels écrits dans n'importe
quelle base p: l'arrondi d'un nombre réel x à une certaine précision est le nombre le
plus proche de x tel que tous les chiffres allant au-delà de cette précision soient nuls.
Par convention, lorsqu' il existe deux nombres possibles, l'arrondi est alors le plus grand.
Considérons les nombres N = (101,10011) 2 et M = (B82A,7 AB) 16 :
• L'arrondi à (10) 2 près de N est (110) 2 car ce nombre est plus proche de N que
(100)2.
• L'arrondi à (0,lh près de N est (101,lh car ce nombre est plus proche de N que
(110,0)2.
• L'arrondi à (100)16 près de M est (B800) 16 car ce nombre est plus proche de M que
(B900) 16 .
• L' arrondi à (0,1) 16 près de M est (B82A,8) 16 car ce nombre est plus proche de M
que (B82A,7) 16 .
1.2 DIVISIBILITÉ DES ENTIERS
Soit a et b des entiers naturels. a est divisible par b s'il existe un entier naturel k tel
que: a= bk.
On dit alors que b divise a, que b est un diviseur de a et que a est un multiple de b.
Exemple
65 = l 3 x 5 donc on peut dire que 65 est divisible par l 3 (et par 5 aussi), que l 3
et 5 sont des diviseurs de 65 et que 65 est un multiple de l 3 (et de 5 aussi).
Propriété 1.3
- Si a est divisible par b alors tout multiple de a est divisible par b.
- Si a est divisible par b et si b est divisible parc, alors a est divisible parc.
- Si a et b sont divisibles parc, alors a+b et a-b sont divisibles parc.
-0
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Les démonstrations de ces propriétés seront proposées dans l'exercice corrigé 1.20.
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1.3.1 Reconnaissance des nombres premiers
Un entier naturel est premier s'il a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
• 0 n'est pas premier car il possède une infinité de diviseurs.
• 1 n'est pas premier car il n'a qu'un seul diviseur: 1.
• 2 est premier car il a exactement deux diviseurs : 1 et 2.
• 3 est premier car il a exactement deux diviseurs : 1 et 3.