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1.3 · Nombres premiers
Théorème 1.1
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Sin n'est pas premier, alors n possède au moins un diviseur premier inférieur ou
égal à Fn.
Ce théorème permet d ' avoir un critère de reconnaissance des nombres premiers :
pour savoir si un nombre n est premier, on calcule Fn . Si n n'est divisible par aucun
des nombres premiers inférieurs ou égaux à .J;;,, alors n est premier.
Mémorisez les nombres premiers inférieurs à 20, ils vous seront utiles par la
suite : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 1 7 et 19.
Exemple
Cherchons si 34 7 et 713 sont des nombres premiers :
.J347::::::: 18,6. Les nombres premiers inférieurs ou égaux à 18,6 sont 2, 3, 5, 7,
11, 13 et 17. 347 n'est divisible par aucun d'eux donc 347 est premier .
.J7l3 : : : : : : : 26, 7. Les nombres premiers inférieurs ou égaux à 26, 7 sont 2, 3, 5, 7,
11, 13, 17, 19 et 23 . 71 3 est divisible par 23 donc 713 n'est pas premier.
1.3.2 Décomposition d'un nombre en produit de facteurs
premiers
Un nombre qui n'est pas premier est divisible par un nombre premier, et peut même
s'écrire uniquement avec des nombres premiers, sous forme de produit.
Théorème 1.2
Tout entier naturel supérieur ou égal à 2 se décompose de façon unique en un
produit de facteurs premiers.
Exemple
84 n'est pas premier, il se décompose en un produit de facteurs premiers, cette
décomposition est unique, à l' ordre des facteurs près :
84 = 2 X 42 = 2 X 6 X 7 = 2 X 2 X 3 X 7 = 2 2 X 3 X 7
975 n'est pas premier, il se décompose en un produit de facteurs premiers :
975 = 5 X 195 = 5 X 5 X 39 = 5 X 5 X 3 X 1 3 = 3 X 5
2 X 1 3
9