"'O
0
c
:J
0
LI)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>Q.
0
u
Chapitre 5 • Ensembles
144
b) D'après le tableau 5.11, on voit quel et g sont des bijections, donc elles possèdent
des bijections réciproques. La composée de deux bijections est une bijection, donc
g o lest une bijection, qui possède une bijection réciproque.
c) g 0 1(5) = 6 donc (g 0 j)1
(6) = 5 etl1 0 g1
(6) = l -
1
Lg1
(6)J = l -
1
(3) = 5.
On constate que (g o j)1
(6) = l -
1 o g1
(6). Ce résultat était prévisible puisque c'est
une propriété générale: la bijection réciproque de g o l est11 o g1
.
l"f..IJ:J Vx E IR{, g o j(x) = g(3x) = 2(3x) + 5 = 6x + 5
Vx E JR{,l o g(x) = l(2x + 5) = 3(2x + 5) = 6x + 15
J"f..lpl Vx E IR{, g o l(x) = g(2x) = 2x(2x + 1) = 4x
2 + 2x
Vx E JR{,l o g(x) = l(x(x + 1)) = 2x(2x + 1) = 2x
2
+ 2x
J"IIeJ a) A a pour coordonnées (1 ;2). L' image de A est le point A' de coordonnées
(1 + 2;1 - 2) = (3;1). De même, on lit les coordonnées des autres points: B(2;2),
C(3;2), D(l;l), E(2;1) et on calcule les coordonnées des points images: B'(4;0),
C'(5;1), D'(2;0), E'(3;1).
1(0.) ={A ';B';C;D';E'}
x+y=4
x=3.5
b) (x+ y; x- y )= (4; 3) <=>
<=>
x-y=3
y =0.5
l - 1 ({F}) = {G(3,5;0,5)}
c) Si M appartient à l'axe des abscisses, ses coordonnées sont (x;O). Alors M'a pour
coordonnées (x;x) et appartient toujours à la droite d'équation y= x.
J1UI a) An A'= {O} doncl(A n A')= l({O}) = {O}.
j(A) = {0;1 ;4 },j(A') = {O;l} doncj(A) nl(A') = {0;1 }.
Doncl(A n A')-:t-l(A) nl(A').
b)A uA' = {-2;-l;O ;l} doncl(A uA') = {0;1;4}.
Etl(A) u l(A') = {0;1 ;4} donc pour cet exemple,l(A u A')= j(A) u l(A') .
-
-
c) A = { 1 ;2} donc l( A) = { 1 ;4}.
l(A) = {0;1 ;4} donc l(A) = {2;3}doncf(A):;t l(A).
J"lt11 a) B n B' = {2} doncl1
(B n B') =l1
({2}) = 0
l - 1 (B) = {- 1;0;1 },f- 1 (B') = {-2;2 } doncf- 1 (B) nf- 1 (B') = 0.
Pour cet exemple d'application,l1
(B n B') = f -
1
(B) nl1 (B').
b) B u B' = { O; 1 ;2;4} donc l - 1 (B u B') = {- 2;- 1;O;1 ;2 } = E. On trouve également
l -
1
(B) u l - \B') = E. Pour cet exemple,l1
(B u B') = l - 1(B) u l -
1
(B').
0
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Chapitre 5 • Ensembles
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b) D'après le tableau 5.11, on voit quel et g sont des bijections, donc elles possèdent
des bijections réciproques. La composée de deux bijections est une bijection, donc
g o lest une bijection, qui possède une bijection réciproque.
c) g 0 1(5) = 6 donc (g 0 j)1
(6) = 5 etl1 0 g1
(6) = l -
1
Lg1
(6)J = l -
1
(3) = 5.
On constate que (g o j)1
(6) = l -
1 o g1
(6). Ce résultat était prévisible puisque c'est
une propriété générale: la bijection réciproque de g o l est11 o g1
.
l"f..IJ:J Vx E IR{, g o j(x) = g(3x) = 2(3x) + 5 = 6x + 5
Vx E JR{,l o g(x) = l(2x + 5) = 3(2x + 5) = 6x + 15
J"f..lpl Vx E IR{, g o l(x) = g(2x) = 2x(2x + 1) = 4x
2 + 2x
Vx E JR{,l o g(x) = l(x(x + 1)) = 2x(2x + 1) = 2x
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J"IIeJ a) A a pour coordonnées (1 ;2). L' image de A est le point A' de coordonnées
(1 + 2;1 - 2) = (3;1). De même, on lit les coordonnées des autres points: B(2;2),
C(3;2), D(l;l), E(2;1) et on calcule les coordonnées des points images: B'(4;0),
C'(5;1), D'(2;0), E'(3;1).
1(0.) ={A ';B';C;D';E'}
x+y=4
x=3.5
b) (x+ y; x- y )= (4; 3) <=>
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x-y=3
y =0.5
l - 1 ({F}) = {G(3,5;0,5)}
c) Si M appartient à l'axe des abscisses, ses coordonnées sont (x;O). Alors M'a pour
coordonnées (x;x) et appartient toujours à la droite d'équation y= x.
J1UI a) An A'= {O} doncl(A n A')= l({O}) = {O}.
j(A) = {0;1 ;4 },j(A') = {O;l} doncj(A) nl(A') = {0;1 }.
Doncl(A n A')-:t-l(A) nl(A').
b)A uA' = {-2;-l;O ;l} doncl(A uA') = {0;1;4}.
Etl(A) u l(A') = {0;1 ;4} donc pour cet exemple,l(A u A')= j(A) u l(A') .
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c) A = { 1 ;2} donc l( A) = { 1 ;4}.
l(A) = {0;1 ;4} donc l(A) = {2;3}doncf(A):;t l(A).
J"lt11 a) B n B' = {2} doncl1
(B n B') =l1
({2}) = 0
l - 1 (B) = {- 1;0;1 },f- 1 (B') = {-2;2 } doncf- 1 (B) nf- 1 (B') = 0.
Pour cet exemple d'application,l1
(B n B') = f -
1
(B) nl1 (B').
b) B u B' = { O; 1 ;2;4} donc l - 1 (B u B') = {- 2;- 1;O;1 ;2 } = E. On trouve également
l -
1
(B) u l - \B') = E. Pour cet exemple,l1
(B u B') = l - 1(B) u l -
1
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