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QJ
Exercices corrigés
b) "d y E IR{, y = 4x + 10 <::::> y - 10 = 4x <::::> x = (y - 10)/4 = 0 ,25y - 2,5
Tout réel y possède donc un antécédent qui est 0,25 y - 2,5. f est donc une surjection.
c) f est une bijection puisqu'elle est à la fois une injection et une surjection.
d) XE [2 ;3] <::::> 2::;; X::;; 3 <::::> 8::;; 4x::;; 12 <::::> 18::;; 4x + 10::;; 22 <::::> 4x + 10 E [18 ;22].
Ainsi,f([2;3]) = [18;22].
XE [O;+oo[ <::::> 0::;; X<::::> 0::;; 4x <::::> 10::;; 4x + 10 <::::> 4x + 10 E [lO;+oo[.
Ainsi,f([O;+oo[) = [lO;+oo[.
e) "d y E IR{, 4x + 10 2 0 <::::> 4x 2-1<::::>x2-2,5 <::::> x E [2,5 ;+oo[.
Ainsi,f1
([0;+oo[) = [-2,5;+oo[.
l"fld a)f n'est pas une injection car les éléments a et dont la même image.f est une
surjection car tous les éléments de Font au moins un antécédent. Puisque f n'est pas
injective, ce n'est pas une bijection.
g est une bijection car chaque élément de F a une seule image et chaque élément de
G a un seul antécédent.
b) g of est l'application de E dans G, définie par le tableau 5.10.
Tableau 5.1 O
1
:
1
:
1
;
1
:
X
g o f(x)
(exemple de calcul : g o f(a) = g[f(a)] = g(2) =a)
c) On ne peut pas définir l'application réciproque def carfn'est pas bijective. Par
contre, on peut définir l'application réciproque g1 de g, et cette réciproque est elle
aussi bijective.
g- 1 est définie de G dans F par g- 1 (a) = 2, g1
(~) = 3, g- 1 ("() = 1.
l"fJ~ a)
Tableau 5.11
X
0
l
2
3
4
5
6
f(x)
2
5
1
4
0
3
6
g(x)
1
5
2
6
3
0
4
g o f(x)
2
0
5
3
1
6
4
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