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0
N
@
.......
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O'l
·;::::
>Q.
0
u
Chapitre 5 • Ensembles
142
R n'est pas transitive car An B = 0 et B n C = 0 n'implique pas nécessairement
An C = 0 (contre-exemple avec A= {1;2}, B = {3;4}, C = { 1;5 }).
1-t4fln Rest réflexive car pour tout x réel, x
2
~O .
R est symétrique car si xy ~ 0 alors yx ~ O.
Rest transitive car si xy ~ 0 et yz ~ 0 alors xyyz ~ 0 d'où xy 2 z ~ 0 puis xz ~O.
1-t..fll a) Soit E = { 1;2;3;4;5;6;7;8;9}. Tout élément de E est en relation avec luimême d'après la partie « x = y » de la définition, donc R est réflexive. Si x R y
alors y R x d'après la partie « ... de x à y (ou de y à x) ... » de la définition donc R
est symétrique.
b) On doit montrer que V (x;y;z) E E
3 , x R y et y R z ~ x R z. Les cas où deux
nombres sont égaux sont évidents. Il suffit d'examiner tous les cas où les trois
nombres sont différents. On a 1 R 6 et 6 R 8 ~ 1 R 8 et 2 R 4 et 4 R 5 ~ 2 R 5
donc R est transitive. On peut donc dire que R est une relation d'équivalence.
1-tJ"I a)fn'est pas injective carbet c, qui sont deux éléments distincts de E, ont la
même image.f n'est pas surjective car des éléments de F n' ont pas d'antécédent (les
éléments 1 et 5).
b)f(a) = 2,f(b) = 4,f(c) = 4, doncl(A) = {2;4}.
l(c) = 4,l(d) = 3, doncl(A') = {3;4 }.
c)l(E) = {2;3;4} .
d) 1 n' a pas d' antécédent, 2 a pour antécédent a et 3 a pour antécédent d donc
l -
1
(B) = { a;d}.
3 a pour antécédent d et 4 a pour antécédents b etc donc l1
(B') = { b;c;d}.
1-tJJ a) f est une injection car deux éléments distincts de E ont des images
distinctes. l n'est pas une surjection car des éléments de F n'ont pas d ' antécédent
(1et4).f n'étant pas surjective, elle n'est pas une bijection.
b)f(A) = {3 ;5}
c) l -
1
(B) = { a;b;d}
1-tJIJ(O) = f(3) = 1(6) = 0,l(l) = f(4) = f(7) = 1,f(2) = f(5) = 2.
a) f n'est pas injective car on peut trouver des éléments distincts de E qui ont la
même image.l n'est pas surjective car 3 n'a pas d'antécédent.
b)l(A) = {0;1} etl1
[f(A)] = {0;1;3;4;6;7}. Doncf1
[f(A)] 7=A.
c)l- 1 (B) = {2 ;5} etl[f- 1 (B)] = {2}. Doncf [f- 1 (B)] :;t: B.
l-tJ1 a) On utilise la contraposée de la définition :
\;/ (x;y) E Il~.2,l(x) = f(x') <::::> 4x + 10 = 4x' + 10 <::::> 4x = 4x' <::::>X = x'
lest donc une injection.
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Chapitre 5 • Ensembles
142
R n'est pas transitive car An B = 0 et B n C = 0 n'implique pas nécessairement
An C = 0 (contre-exemple avec A= {1;2}, B = {3;4}, C = { 1;5 }).
1-t4fln Rest réflexive car pour tout x réel, x
2
~O .
R est symétrique car si xy ~ 0 alors yx ~ O.
Rest transitive car si xy ~ 0 et yz ~ 0 alors xyyz ~ 0 d'où xy 2 z ~ 0 puis xz ~O.
1-t..fll a) Soit E = { 1;2;3;4;5;6;7;8;9}. Tout élément de E est en relation avec luimême d'après la partie « x = y » de la définition, donc R est réflexive. Si x R y
alors y R x d'après la partie « ... de x à y (ou de y à x) ... » de la définition donc R
est symétrique.
b) On doit montrer que V (x;y;z) E E
3 , x R y et y R z ~ x R z. Les cas où deux
nombres sont égaux sont évidents. Il suffit d'examiner tous les cas où les trois
nombres sont différents. On a 1 R 6 et 6 R 8 ~ 1 R 8 et 2 R 4 et 4 R 5 ~ 2 R 5
donc R est transitive. On peut donc dire que R est une relation d'équivalence.
1-tJ"I a)fn'est pas injective carbet c, qui sont deux éléments distincts de E, ont la
même image.f n'est pas surjective car des éléments de F n' ont pas d'antécédent (les
éléments 1 et 5).
b)f(a) = 2,f(b) = 4,f(c) = 4, doncl(A) = {2;4}.
l(c) = 4,l(d) = 3, doncl(A') = {3;4 }.
c)l(E) = {2;3;4} .
d) 1 n' a pas d' antécédent, 2 a pour antécédent a et 3 a pour antécédent d donc
l -
1
(B) = { a;d}.
3 a pour antécédent d et 4 a pour antécédents b etc donc l1
(B') = { b;c;d}.
1-tJJ a) f est une injection car deux éléments distincts de E ont des images
distinctes. l n'est pas une surjection car des éléments de F n'ont pas d ' antécédent
(1et4).f n'étant pas surjective, elle n'est pas une bijection.
b)f(A) = {3 ;5}
c) l -
1
(B) = { a;b;d}
1-tJIJ(O) = f(3) = 1(6) = 0,l(l) = f(4) = f(7) = 1,f(2) = f(5) = 2.
a) f n'est pas injective car on peut trouver des éléments distincts de E qui ont la
même image.l n'est pas surjective car 3 n'a pas d'antécédent.
b)l(A) = {0;1} etl1
[f(A)] = {0;1;3;4;6;7}. Doncf1
[f(A)] 7=A.
c)l- 1 (B) = {2 ;5} etl[f- 1 (B)] = {2}. Doncf [f- 1 (B)] :;t: B.
l-tJ1 a) On utilise la contraposée de la définition :
\;/ (x;y) E Il~.2,l(x) = f(x') <::::> 4x + 10 = 4x' + 10 <::::> 4x = 4x' <::::>X = x'
lest donc une injection.