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Exercices corrigés
D'après la table de vérité, quels que soient les ensembles A, B et C :
A \ (B n C) = (A \ B) u (A \ C)
1'111 a) Il suffit de répartir les 6 éléments de E dans trois sous-ensembles, chaque
élément ne se trouvant que dans un seul sous-ensemble, sans laisser un sousensemble vide. Par exemple, on peut prendre E 1 = { 1 ;2}, E 2 = { 3;4;5}, E 3 = { 6}.
b) On peut faire des partitions avec une partie avec un seul élément, l'autre partie en
ayant alors nécessairement trois : il y a quatre façons de choisir l'élément qui sera
seul, donc on a quatre partitions« un élément+ trois éléments». On peut aussi faire
des partitions « 2 éléments + 2 éléments ». Il y a trois façons de choisir l'élément
avec lequel sera a: avec b, avec cou avec d. En tout, il y a donc 4 + 3 = 7 partitions
de F en deux parties.
1'1 .. 1 R n'est pas réflexive car on n'a pas x R x pour tout x réel (par exemple, on
n'a pas 1 < 1).
R n'est pas symétrique car x R y n'implique pas y R x (par exemple, 2 < 3 mais on
n'a pas 3 < 2).
Rest transitive car, pour tous nombres x, y et z, si on a x < y et y < z alors x < z.
l'lld Rest réflexive car tout nombre entier naturel est diviseur de lui-même.
R est antisymétrique car si x divise y et y divise x, alors x = y.
Rest transitive car six divise y et y divise z, alors x divisez.
La relation Rest donc une relation d' ordre. Et c'est un ordre partiel, car pour deux
entiers naturels quelconques x et y, on n'a pas forcément x qui divise y ou y qui
divise x.
l'if~ R est réflexive car pour tout entier naturel x, x + x = 2x est multiple de 2.
Rest symétrique car six + y est multiple de 2, alors y + x aussi.
Rest transitive car six + y est multiple de 2 et y + z aussi, alors x + y = 2k, avec
k E ru, y + Z = 2k', avec k' E ru, et on a alors X + y + y + Z = 2k + 2k'
donc x + z = 2(k + k' - y) qui est un multiple de 2.
La relation R est donc une relation d 'équivalence.
l'll:J Rest réflexive car tout ensemble est inclus dans lui-même.
R est antisymétrique car si A c B et B c A alors A = B.
Rest transitive car si Ac B et B c C alors A c C.
La relation Rest donc une relation d'ordre. L'ordre est partiel, car pour deux parties
quelconques de P(E), il n'y en a pas forcément une incluse dans l'autre.
l'IQl R n'est pas réflexi ve car pour tout A, An A= A =t:. 0 .
Rest symétrique car si An B = 0 alors B n A = 0 .
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Exercices corrigés
D'après la table de vérité, quels que soient les ensembles A, B et C :
A \ (B n C) = (A \ B) u (A \ C)
1'111 a) Il suffit de répartir les 6 éléments de E dans trois sous-ensembles, chaque
élément ne se trouvant que dans un seul sous-ensemble, sans laisser un sousensemble vide. Par exemple, on peut prendre E 1 = { 1 ;2}, E 2 = { 3;4;5}, E 3 = { 6}.
b) On peut faire des partitions avec une partie avec un seul élément, l'autre partie en
ayant alors nécessairement trois : il y a quatre façons de choisir l'élément qui sera
seul, donc on a quatre partitions« un élément+ trois éléments». On peut aussi faire
des partitions « 2 éléments + 2 éléments ». Il y a trois façons de choisir l'élément
avec lequel sera a: avec b, avec cou avec d. En tout, il y a donc 4 + 3 = 7 partitions
de F en deux parties.
1'1 .. 1 R n'est pas réflexive car on n'a pas x R x pour tout x réel (par exemple, on
n'a pas 1 < 1).
R n'est pas symétrique car x R y n'implique pas y R x (par exemple, 2 < 3 mais on
n'a pas 3 < 2).
Rest transitive car, pour tous nombres x, y et z, si on a x < y et y < z alors x < z.
l'lld Rest réflexive car tout nombre entier naturel est diviseur de lui-même.
R est antisymétrique car si x divise y et y divise x, alors x = y.
Rest transitive car six divise y et y divise z, alors x divisez.
La relation Rest donc une relation d' ordre. Et c'est un ordre partiel, car pour deux
entiers naturels quelconques x et y, on n'a pas forcément x qui divise y ou y qui
divise x.
l'if~ R est réflexive car pour tout entier naturel x, x + x = 2x est multiple de 2.
Rest symétrique car six + y est multiple de 2, alors y + x aussi.
Rest transitive car six + y est multiple de 2 et y + z aussi, alors x + y = 2k, avec
k E ru, y + Z = 2k', avec k' E ru, et on a alors X + y + y + Z = 2k + 2k'
donc x + z = 2(k + k' - y) qui est un multiple de 2.
La relation R est donc une relation d 'équivalence.
l'll:J Rest réflexive car tout ensemble est inclus dans lui-même.
R est antisymétrique car si A c B et B c A alors A = B.
Rest transitive car si Ac B et B c C alors A c C.
La relation Rest donc une relation d'ordre. L'ordre est partiel, car pour deux parties
quelconques de P(E), il n'y en a pas forcément une incluse dans l'autre.
l'IQl R n'est pas réflexi ve car pour tout A, An A= A =t:. 0 .
Rest symétrique car si An B = 0 alors B n A = 0 .
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