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QJ
Exercices corrigés
b) Soit F( 4;3). Déterminer f - 1( { F}).
c) Montrer que, quel que soit le point M se trouvant sur l'axe des abscisses, alors son
image M' se trouve sur une droite dont on donnera l'équation.
l"IJI On définit une application f de E = {-2;-1;0;1;2} dans F = {0;1;2;3;4}
par j(x) = x
2 . Dans E, on considère les parties A = {-2;-l ;0} et A'= { 0; 1}.
a) Est-ce quej(A nA') =f(A) nj(A')?
b) Est-ce quej(A u A')= f(A) u f(A')?
c) Est-ce que J(A)= f (A) ?
l"lt1'1 on définit une application! de E = {-2;-1;0;1;2} dans F = {0;1;2;3;4} par
j(x) = x
2 . Dans F, on considère les parties B = { 0;1 ;2} et B' = {2;4}.
a) Est-ce quef1
(B n B') = f1
(B) nf1
(B')?
b) Est-ce quef1
(B u B') = f - 1(B) u J1
(B')?
c) Est-ce que f -
1
(B )= f -
1 (B) ?
l"IJ:J Pour s'échanger des messages codés, Alice et Bob utilisent leur clavier téléphonique. Le chiffre 2 sert à coder les lettres A, B, C ; le chiffre 3 sert à coder les
lettres D, E, F etc.
a) Quel nombre Alice va-t-elle envoyer à Bob pour lui dire BRAVO?
b) Bob est-il sûr de comprendre ?
c) Quelle propriété de l'application : lettre H chiffre n ' est pas respectée, qm
permettrait de décoder le message de façon certaine ?
d) Proposer une adaptation de la méthode permettant d'avoir un décodage unique.
1"111 a) Pour un certain type de codage, on a besoin de coder les lettres A, B, C, D.
On commence par attribuer un nombre à chaque lettre: A= 0, B = 1, C = 2, D = 3.
Puis on multiplie par 2 le nombre et on ajoute 3. On cherche ensuite le reste de la
division euclidienne par 4. À ce reste correspond alors une lettre qui est la lettre cryptée.
Comment seront cryptées les lettres A, B, C, D? Ce type de codage est-il acceptable?
b) La méthode précédente n'étant pas satisfaisante, on décide de modifier le
procédé. On multiplie par 3 le nombre et on ajoute 2. Et on cherche encore le reste
de la division euclidienne par 4. Vérifier que l' on a un codage bijectif .
lfi1 À chaque lettre, à part le W que l' on fusionne avec le V, on attribue un
nombre suivant la correspondance du tableau 5.5.
On code chaque lettre par un couple (q;r), où q et r sont le quotient et le reste dans la
division euclidienne par 5 du nombre associé à la lettre. Pour simplifier, on écrira le
code sous forme d'un nombre à deux chiffres obtenu en concaténant les nombres q
et r.
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Exercices corrigés
b) Soit F( 4;3). Déterminer f - 1( { F}).
c) Montrer que, quel que soit le point M se trouvant sur l'axe des abscisses, alors son
image M' se trouve sur une droite dont on donnera l'équation.
l"IJI On définit une application f de E = {-2;-1;0;1;2} dans F = {0;1;2;3;4}
par j(x) = x
2 . Dans E, on considère les parties A = {-2;-l ;0} et A'= { 0; 1}.
a) Est-ce quej(A nA') =f(A) nj(A')?
b) Est-ce quej(A u A')= f(A) u f(A')?
c) Est-ce que J(A)= f (A) ?
l"lt1'1 on définit une application! de E = {-2;-1;0;1;2} dans F = {0;1;2;3;4} par
j(x) = x
2 . Dans F, on considère les parties B = { 0;1 ;2} et B' = {2;4}.
a) Est-ce quef1
(B n B') = f1
(B) nf1
(B')?
b) Est-ce quef1
(B u B') = f - 1(B) u J1
(B')?
c) Est-ce que f -
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(B )= f -
1 (B) ?
l"IJ:J Pour s'échanger des messages codés, Alice et Bob utilisent leur clavier téléphonique. Le chiffre 2 sert à coder les lettres A, B, C ; le chiffre 3 sert à coder les
lettres D, E, F etc.
a) Quel nombre Alice va-t-elle envoyer à Bob pour lui dire BRAVO?
b) Bob est-il sûr de comprendre ?
c) Quelle propriété de l'application : lettre H chiffre n ' est pas respectée, qm
permettrait de décoder le message de façon certaine ?
d) Proposer une adaptation de la méthode permettant d'avoir un décodage unique.
1"111 a) Pour un certain type de codage, on a besoin de coder les lettres A, B, C, D.
On commence par attribuer un nombre à chaque lettre: A= 0, B = 1, C = 2, D = 3.
Puis on multiplie par 2 le nombre et on ajoute 3. On cherche ensuite le reste de la
division euclidienne par 4. À ce reste correspond alors une lettre qui est la lettre cryptée.
Comment seront cryptées les lettres A, B, C, D? Ce type de codage est-il acceptable?
b) La méthode précédente n'étant pas satisfaisante, on décide de modifier le
procédé. On multiplie par 3 le nombre et on ajoute 2. Et on cherche encore le reste
de la division euclidienne par 4. Vérifier que l' on a un codage bijectif .
lfi1 À chaque lettre, à part le W que l' on fusionne avec le V, on attribue un
nombre suivant la correspondance du tableau 5.5.
On code chaque lettre par un couple (q;r), où q et r sont le quotient et le reste dans la
division euclidienne par 5 du nombre associé à la lettre. Pour simplifier, on écrira le
code sous forme d'un nombre à deux chiffres obtenu en concaténant les nombres q
et r.
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