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Chapitre 5 • Ensembles
134
d) À l'aide d'une table de vérité, montrer que, quels que soient les ensembles A, B et
C, on a:
A \ (B n C) = (A \ B) u (A \ C)
1'111 On dit que des parties non vides d'un ensemble E forment une partition de E
lorsque leur réunion est égale à E et qu'elles sont deux à deux disjointes.
a) Soit E = { a;b;c;d;e;f;g}. Donner un exemple de partition de E en trois parties.
b) Soit F = { a;b;c;d}. Combien peut-on faire de partitions de Fen deux parties ?
Pour chacun des exercices de 5.15 à 5.20, étudier si la relation R est réflexive,
symétrique, antisymétrique, transitive. Éventuellement, dire si c'est une relation
d'équivalence ou d'ordre (total ou partiel).
1'1 .. 1 Dans ~' x R y <=> x < y.
l'lld Dans ru, x R y<=> x est un diviseur de y.
l'lf~ Dans ru, x R y<=> x + y est multiple de 2.
l'll:J Soit E un ensemble non vide. Dans P(E) , A RB <=> A c B.
l'IQl Soit E un ensemble non vide. Dans P(E), A RB <=> A n B = 0.
'*ln Dans~' X Ry <=> xy ~ O.
1*..fll Sur l'ensemble des nombres de l'arbre (appelé arbre binaire) présenté
fig. 5.5, on définit une relation binaire par x R y si et seulement six= y ou on peut
passer de x à y (ou de y à x) par un chemin qui descend toujours à droite.
Figure 5.5
a) Expliquer pourquoi, simplement d'après sa définition, on peut affirmer que R est
réflexive et symétrique.
b) Montrer que R est transitive.
l*l'I Soitf l'application de E dans F définie par le diagramme de la fig. 5.6.
a) f est elle injective ? Surjective ?