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Chapitre l • Arithmétique
6
Conversion directe de (110111) 2 en base 16:
(11011 l)i = (0011011 lh = (37)16
On ajoute à gauche des zéros inutiles pour « faire des paquets » de quatre chiffres
que l'on remplace ensuite par leurs équivalents en base 16.
Puisque l'écriture en base 2 d'un nombre peut être très « longue» et du fait de la
simplicité de conversion entre les bases 2 et 16, on utilise beaucoup le système
hexadécimal en informatique.
Les calculatrices permettent de convertir un nombre d'une base à l'autre.
1.1.3 Numération des réels
Dans le dernier paragraphe, nous avons défini les écritures binaire, décimale et hexadécimale d'un nombre entier. Plus largement, tout nombre réel peut être écrit en base 2,
10 ou 16.
Pour comprendre, prenons l'exemple de deux réels et de la base 10 :
(53,627)l0 = 5 X 10 + 3 + 6/10 + 2110
2
+ 7/10
3
(456,905) 10 = 4 X10
2
+ 5 X 10 + 6 + 9/10 + 0110
2
+ 5110
3
Plus généralement on a la propriété suivante.
Propriété 1.2
Quels que soient les nombres entiers a 0 , .. ., an et b 1 , .. ., bm compris entre 0 et
p-1 (oùp désigne 2, 10 ou 16), on a:
Dans le cas où p = 16, on remplace dans l'écriture du membre de gauche, tout ai
ou bi égal à 10, 11, 12, 13, 14 ou 15 par A, B, C, D, E ou F respectivement.
Exemple
7,25 en base 2 : 7,25 = 7 + 0,25 = 1 x 2 2 + 1 x 2 + 1 + 1 /2 2 = (111,01) 2
(l 01, 11) 2 en base l 0 : (101, 11) 2 = 1 x 2 2 + 0 x 2 + l + l /2 + 1 /2 2 = 5,75
(B,3C) 16 en base 10: (B,3C) 16 = 11 + 3/16 + 12/16
2
= 11,234375
1.1.4 Opérations élémentaires
En base 2 ou 16, on pose les opérations de la même manière qu'en base 10.