"'O
0
c
:J
0
:<:;
li)
.,,
..--t
c::
:l
0
~
N
"
@
~
.......
0
J::
:;
O'l
"'
·;::::
c::
0
>c::
o.
c::
0
.9
u
ü
:l
.,,
2
o.
~
"
:;
0
11
.,,
0
c:
:l
0
QJ
TD - Relation binaire dans un ensemble
t) Dès qu'il y a une flèche entre deux éléments, il faut ajouter la flèche «retour». Il
faut donc relier b à a, et d à c.
g) Quand deux flèches se suivent, il faut ajouter la flèche «directe». Comme on a
a R b et b R d, il faut ajouter la flèche de a à d. De même, puisque l'on a c R d et
d Rb, il faut ajouter la flèche c Rb.
h) En ajoutant d'abord les boucles, puis les flèches « retour », puis les flèches
«directes», on constate qu'il faut relier chaque élément à lui-même et aux trois
autres (ce qui fera 16 flèches).
Partie B
a) La flèche qui relie a à b signifie quef(a) = b. On a aussif(b) = d,f(d) = b, f(c) = d.
Ainsi, chaque élément a une unique image, la fonction f est donc une application
dans S.
b)fn'est pas une injection car a et dont la même image (b et c aussi).
c)fn'est pas une surjection car a n'a pas d 'antécédent (c non plus).
d)f(a) = b,f(b) = d donc l'image directe de {a;b} estf({a;b}) = {b;d}.
e) a n'a pas d'antécédent, b a pour antécédents a et d, donc 11
c { a;b}) = { a;d}.
t)f1 [f({a;b})] =f1
({b;d})= {a;b;c;d } =S
f[f- 1 ({a ;b})] =f({a;d}) = {b}
Partie C
a) 2,4 est en relation avec 4,2 car 2,4 -:t= 4,2 et 2 x 2,4 + 4,2 = 9, qui est un entier
naturel. Mais 2,4 n'est pas en relation avec 4,8 car on n' a ni 2 x 2,4 + 4,8 E ru ni
E(2,4) = E(4,8).
b) On a déjà vu que 2,4 R 4,2. On a aussi 4,2 R 4,8 ; 4,8 R 4,2 et 3, 1 R 4,8.
c)
2,4
4,8
4,2
3, l
Figure 5.4
d) On retrouve le même graphique que celui étudié en partie A, à part le nom des
sommets. La relation R n'est ni réflexive, ni symétrique, ni transitive.
131