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Chapitre 5 • Ensembles
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g) Même question avec une relation transitive.
h) Comment doit-on compléter le dessin pour obtenir une relation d'équivalence?
Partie B
On considère maintenant le dessin comme étant la représentation graphique d'une
fonction , que 1 'on note f, définie sur 1 'ensemble S.
a) Expliquer pourquoi! est une application.
b) f est elle une injection ?
c)f est elle une surjection?
d) Quelle est l'image directe de {a;b} parf?
e) Quelle est l'image réciproque de { a;b} par f?
f) Déterminer 1- 1 [{( { a;b} )] etf [f"- 1 ( { a;b} )].
Partie C
Quel que soit le réel x positif, on appelle partie entière de x, que l'on note E(x), le
plus grand entier naturel inférieur ou égal à x. Par exemple: E(5, 1) = 5 ; E(IO) = 10;
E(3,14) = 3.
Dans 1' ensemble S ={ 3, 1 ;2,4;4,2;4,8}, on définit une relation binaire R par :
V (x;y) E S 2 , X R y~ (x :;t: y)/\ (2x + y E ru V E(x) = E(y))
a) Montrer que 2,4 R 4,2. Est-ce que 2,4 R 4,8 ?
b) Déterminer tous les couples d'éléments de S qui sont en relation.
c) Faire une représentation graphique de la relation.
d) La relation 8t est-elle réflexive ? Symétrique ? Transitive ?
Solution du TD
Partie A
a) Une flèche relie a à b donc a R b. On a également b R d, d R b et c R d.
b) R n'est pas réflexive car aucun élément n ' est en relation avec lui-même (en fait,
il suffit qu' il y ait un élément qui ne soit pas en relation avec lui-même).
c) R n'est pas symétrique. On a, par exemple, a R b sans avoir b R a.
d) R n'est pas transitive. En effet, on a a Rb et b Rd mais on n ' a pas a Rd.
e) 11 faut ajouter une boucle sur chaque élément.