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Chapitre 5 • Ensembles
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5.3.3 Composition d'applications
Soit f une application de E dans F et g une application de F dans G. L'application
composée de/ par g est l'application de E dans G qui, à tout élément de E, associe
le nombre g[f(x)]. Cette application se note g 0 f
V x E E, g 0 f(x) = g[!Cx)]
Exemple
Soit f l'application de IRl. dans IRl. définie par f(x) = x 2 et g l'application de IRl. dans IRl.
définie par g(x) = 0,5x + 4 . L'image de 3 par la composée de f par g est:
g o {(3) = g(f(3)] = g(3 2 ) = g(9) = Ü,5 X 9 + 4 = 8,5
V x E !Rl., g 0 f(x) = g[f(x)] = g(x 2 ) = 0,5x 2 + 4.
L'application g o f est donc définie de IRl. dans IRl. par g o f(x) = 0,5x 2 + 4.
Nous admettrons les propriétés suivantes.
Propriété 5.3
La composée de deux injections est une injection.
La composée de deux surjections est une surjection.
La composée de deux bijections est une bijection.
5.3.4 Bijection réciproque
Considérons! de E ={ 1;2;3 } dans F ={ a;b;c} définie par :f(l) =a ;f(2) = c;
f(3) = b. C' est une bijection puisque chaque élément de E a une seule image (donc
f est une application), et chaque élément de Fa un seul antécédent.
On peut alors définir une bijection réciproque de /, de F dans E, que l'on
note 11
, telle que :
11
(a) = 1 ;f- 1 (b) = 3 ;f- 1 (c) = 2
Cette applicationf- 1 est aussi une bijection.
Soitf une bijection de E dans F. Il existe une bijection réciproque de F dans E,
notée 1- 1 telle que :
V (x;y) E Ex F,f(x) =y<=> 11
(y) = x
Il ne faut pas confondref1
(B) etf1
(y). Dans le premier cas, Best un ensemble et
/ -
1 (B) est l' image réciproque de B parf: c'est donc un ensemble. Dans le deuxième
cas, y est un élément,f1 désigne une bijection réciproque etf1
(y) est alors l'unique
antécédent de y par f: c'est donc un élément.
Propriété 5.4
Soitfune bijection de E dans F et g une bijection de F dans G.
Alors g 0 f est une bijection de E dans G qui possède une bijection réciproque
(g 0 j)-1=1-1 0 g-1.