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5.3 • Applications d'un ensemble dans un ensemble
Exemple
Soit f l'application de fi{ dans fi{ définie par f(x) = 3x + 1.
Soit B = [10;16], 10 :::;; 3x + 1 :::;; 16 <=> 9 :::;; 3x ::;; 15 <=> 3 :::;; x ::;; 5 donc f - 1 (B) = [3;5].
5.3.2 1 njection - Surjection - Bijection
Soitfune application de E dans F.f est une injection (ou application injective) si et
seulement si tout élément de F possède au plus un antécédent, ce qui revient à dire
que deux éléments distincts de E ont deux images distinctes.
'\! x E E, '\! x' E E, x i= x '-::::::; f(x) i= f(x')
Exemples
Soit f l'application de fi{ dans fi{ définie par f(x) = x 2 • f n'est pas injective car on
peut trouver des nombres distincts qui ont la même image : par exemple, 3 et - 3
ont la même image 9 .
Soit f l'application de fi{ dans fi{ définie par f(x) = 2x - 1. Pour montrer que f est
injective, on va utiliser la contraposée « f(x) = f(x') => x = x ».
f(x) = f(x) => 2x - 1 = 2x - 1 => 2x = 2x' => x = x' donc f est injective.
Soitf une application de E dans F. f est une surjection (ou application surjective) si et seulement si tout élément de F possède au moins un antécédent.
'\!y E F, 3 x E E, y= f(x)
Exemples
Soit f l'application de fi{ dans fi{ définie par f(x) = x 2 . f n 'e st pas une surjection car
tout nombre strictement négatif n'a pas d'antécédent.
Soit f l' application de fi{ dans fi{ définie par f(x) = 2x - 1. f est une surjection car
tout nombre réel y possède un antécédent qui est (y+ 1)/2 .
Soitfune application de E dans F.f est une bijection (ou application bijective) si
et seulement si f est à la fois une injection et une surjection.
Exemple
L'application f de fi{ dans fi{ définie par f(x) = 2x - 1 est une bijection puisqu'on a
vu qu'elle était une injection et une surjection.
La caractéristique d'une bijection, c'est que chaque élément de l' ensemble de
départ a une seule image, et chaque élément de l ensemble d'arrivée a un seul
antécédent.
En informatique, les injections et les bijections ont un rôle important dans le
codage d'informations : en effet, chaque « objet» doit avoir son propre code, car il
est très souvent indispensable qu' un même code ne puisse pas être attribué à deux
objets distincts.
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5.3 • Applications d'un ensemble dans un ensemble
Exemple
Soit f l'application de fi{ dans fi{ définie par f(x) = 3x + 1.
Soit B = [10;16], 10 :::;; 3x + 1 :::;; 16 <=> 9 :::;; 3x ::;; 15 <=> 3 :::;; x ::;; 5 donc f - 1 (B) = [3;5].
5.3.2 1 njection - Surjection - Bijection
Soitfune application de E dans F.f est une injection (ou application injective) si et
seulement si tout élément de F possède au plus un antécédent, ce qui revient à dire
que deux éléments distincts de E ont deux images distinctes.
'\! x E E, '\! x' E E, x i= x '-::::::; f(x) i= f(x')
Exemples
Soit f l'application de fi{ dans fi{ définie par f(x) = x 2 • f n'est pas injective car on
peut trouver des nombres distincts qui ont la même image : par exemple, 3 et - 3
ont la même image 9 .
Soit f l'application de fi{ dans fi{ définie par f(x) = 2x - 1. Pour montrer que f est
injective, on va utiliser la contraposée « f(x) = f(x') => x = x ».
f(x) = f(x) => 2x - 1 = 2x - 1 => 2x = 2x' => x = x' donc f est injective.
Soitf une application de E dans F. f est une surjection (ou application surjective) si et seulement si tout élément de F possède au moins un antécédent.
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Exemples
Soit f l'application de fi{ dans fi{ définie par f(x) = x 2 . f n 'e st pas une surjection car
tout nombre strictement négatif n'a pas d'antécédent.
Soit f l' application de fi{ dans fi{ définie par f(x) = 2x - 1. f est une surjection car
tout nombre réel y possède un antécédent qui est (y+ 1)/2 .
Soitfune application de E dans F.f est une bijection (ou application bijective) si
et seulement si f est à la fois une injection et une surjection.
Exemple
L'application f de fi{ dans fi{ définie par f(x) = 2x - 1 est une bijection puisqu'on a
vu qu'elle était une injection et une surjection.
La caractéristique d'une bijection, c'est que chaque élément de l' ensemble de
départ a une seule image, et chaque élément de l ensemble d'arrivée a un seul
antécédent.
En informatique, les injections et les bijections ont un rôle important dans le
codage d'informations : en effet, chaque « objet» doit avoir son propre code, car il
est très souvent indispensable qu' un même code ne puisse pas être attribué à deux
objets distincts.
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