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Chapitre 5 • Ensembles
126
Soit R une relation définie sur un ensemble E non vide. R est une relation
d 'ordre si et seulement si elle est réflexive, antisymétrique et transitive.
Exemples
Dans ffi{, la relation d'inégalité : x R y Ç::> x ~ y est une relation d'ordre.
Dans ru, la relation de congruence modulo n: x R y Ç::> x = y[n] n'est pas une relation d'ordre car elle n'est pas antisymétrique.
Soit Rune relation d' ordre définie sur un ensemble E non vide. Rest une relation d 'ordre total si et seulement si V (x;y) E E 2 , (x R y v y R x). Sinon, Rest une
relation d ' ordre partiel.
Exemple
Dans ffi{, la relation d'inégalité : x R y Ç::> x ~ y est une relation d'ordre total car,
quels que soient les réels x et y, on a soit x ~ y soit y ~ x.
5.3 APPLICATIONS D'UN ENSEMBLE DANS UN ENSEMBLE
Une application d'un ensemble E vers un ensemble F est une relation binaire de
E vers F qui, à tout élément de E, associe un unique élément de F
On notef: E ---7 F etf(x) = y. On dit que y est l'image de x etx est un antécédent
xHy
dey.
Exemple
E-7 F
Soit E = {O ; l ;2;3}, F = {O ; l ;2;3;4;5} et f :
2 .
X-?X
L' image de 0 est 0, l'image de l est l, l'image de 2 est 4 mais 3 n'a pas d'image
car 3
2
~ F. (n'e st pas une application de Edans F. Par contre, fest une application
de E dans ru.
5.3.1 Image directe - Image réciproque
Soitf une application de E dans F et soit A une partie de E. L'image directe de A
par I est l'ensemble des images des éléments de A. Cet ensemble se notef(A).
l (A) = {f(x), x E A}
Exemple
Soit f l'application de ffi{ dans ffi{ définie par f(x) = 3x + l.
Soit A= {0;4;5}. L'image directe de A est f(A) = {l ;l 3; 16}.
Soit A = [2 ;7]. 2 ~ x~ 7 Ç::> 7 ~ 3x + l ~ 22 donc f(A) = [7 ;22] .
Soitf une application de E dans F et soit B une partie de F. L'image réciproque
de B par I est l'ensemble des éléments de E qui ont leur image dans B. Cet ensemble
se note 1- 1 (B) .
1- 1 (B) = {x E E,l(x) E B}