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5.2 • Relations binaires
• Avec une liste de couples : (a, A), (a, P), (b, H), (b, P), (c, C) qui est une partie du
produit cartésien Ex F.
Dans cet exemple, nous avons défini une relation « est présente dans le département », entre certains éléments de E (appelé ensemble de départ) et certains
éléments de F (appelé ensemble d' arrivée). L'ensemble des couples en relation est
appelé graphe de la relation.
Si on note R cette relation, on écrit alors x R y pour dire que la PME x est
présente dans le département y. Par exemple, a R P.
Soit E et F deux ensembles non vides. Une relation binaire R de E vers F est
définie par la donnée du graphe, qui est une partie du produit cartésien Ex F: un
couple (x;y) appartient au graphe si et seulement six R y, avec (x;y) E Ex F
E est l'ensemble de départ, Fest l'ensemble d'arrivée.
5.2.2 Relation binaire sur un ensemble
Soit E un ensemble non vide. On peut définir une relation binaire R sur E par la
donnée de son graphe, qui est une partie du produit cartésien E
2 . (x;y) appartient au
graphe si et seulement six R y, avec (x;y) E E
2 .
Exemples
Deux exemples simples de relations binaires sur des ensembles :
- Dans !Rl, l'inégalité : x R y<:::> x :::;; y.
- Dans ru, la congruence modulo n: x R y<:::> x = y[n] (n est un entier naturel non
nul).
Soit R une relation définie sur un ensemble E non vide :
• Rest réflexive si et seulement si : '\/ x E E, x R x.
• Rest symétrique si et seulement si : '\/ (x;y) E E
2 , x R y<::::> y R x.
• Rest antisymétrique si et seulement si:'\/ (x;y) E E
2 , (x R y/\ y R x) => x =y.
• Rest transitive si et seulement si : '\/ (x;y;z) E E 3 , (x R y/\ y R z) => x R z.
Exemples
Dans !Rl, la relation d'inégalité :
x R y<:::> x:::;; y est réflexive, antisymétrique et transitive .
Dans ru, la relation de congruence modulo n :
x R y <:::> x = y[n] est réflexive, symétrique et transitive.
Soit R une relation définie sur un ensemble E non vide. R est une relation
d'équivalence si et seulement si elle est réflexive, symétrique et transitive.
Exemples
Dans ru, la relation de congruence modulo n: x R y<:::> x = y[n] est une relation
d'équivalence.
Dans !Rl, la relation d'inégalité : x R y <:::> x:::;; y n'est pas une relation d'équivalence
car elle n'est pas symétrique.
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5.2 • Relations binaires
• Avec une liste de couples : (a, A), (a, P), (b, H), (b, P), (c, C) qui est une partie du
produit cartésien Ex F.
Dans cet exemple, nous avons défini une relation « est présente dans le département », entre certains éléments de E (appelé ensemble de départ) et certains
éléments de F (appelé ensemble d' arrivée). L'ensemble des couples en relation est
appelé graphe de la relation.
Si on note R cette relation, on écrit alors x R y pour dire que la PME x est
présente dans le département y. Par exemple, a R P.
Soit E et F deux ensembles non vides. Une relation binaire R de E vers F est
définie par la donnée du graphe, qui est une partie du produit cartésien Ex F: un
couple (x;y) appartient au graphe si et seulement six R y, avec (x;y) E Ex F
E est l'ensemble de départ, Fest l'ensemble d'arrivée.
5.2.2 Relation binaire sur un ensemble
Soit E un ensemble non vide. On peut définir une relation binaire R sur E par la
donnée de son graphe, qui est une partie du produit cartésien E
2 . (x;y) appartient au
graphe si et seulement six R y, avec (x;y) E E
2 .
Exemples
Deux exemples simples de relations binaires sur des ensembles :
- Dans !Rl, l'inégalité : x R y<:::> x :::;; y.
- Dans ru, la congruence modulo n: x R y<:::> x = y[n] (n est un entier naturel non
nul).
Soit R une relation définie sur un ensemble E non vide :
• Rest réflexive si et seulement si : '\/ x E E, x R x.
• Rest symétrique si et seulement si : '\/ (x;y) E E
2 , x R y<::::> y R x.
• Rest antisymétrique si et seulement si:'\/ (x;y) E E
2 , (x R y/\ y R x) => x =y.
• Rest transitive si et seulement si : '\/ (x;y;z) E E 3 , (x R y/\ y R z) => x R z.
Exemples
Dans !Rl, la relation d'inégalité :
x R y<:::> x:::;; y est réflexive, antisymétrique et transitive .
Dans ru, la relation de congruence modulo n :
x R y <:::> x = y[n] est réflexive, symétrique et transitive.
Soit R une relation définie sur un ensemble E non vide. R est une relation
d'équivalence si et seulement si elle est réflexive, symétrique et transitive.
Exemples
Dans ru, la relation de congruence modulo n: x R y<:::> x = y[n] est une relation
d'équivalence.
Dans !Rl, la relation d'inégalité : x R y <:::> x:::;; y n'est pas une relation d'équivalence
car elle n'est pas symétrique.
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